А.В.Шаповалов => Занятия и кружки => Кировская ЛМШ
Моя последняя параллель в Кировской ЛМШ. В группу Профи смогли отобраться только опытные кружковцы. Настоящий опыт давали в немногих городах: Ижевск, Набережные Челны, Новосибирск, Курган.
В помощники я взял уже опытного преподавателя Руслана Ефремова.
Смена запомнилась ещё и сенсационной победой "под ноль" в матбое наших сплочённых новосибирцев против команды 8-профи.
|
Делимость-1 |
Задачи для проверки умения работать с делимостью и деления с остатком.
| |
|
Пример+оценка. Счет узких мест |
Выделив ключевые места (например, раскрасив их) и подсчитав, можно получить нужную оценку.
| |
|
Разнобой-1 |
||
|
Делимость-2 |
||
|
Разрезания: счет узких мест |
Для разрезаний по клеткам ограничения создаются делимостью и раскраской. Для непрямоугольных разрезаний следим за соответствием сторон и вершин, считаем углы.
| |
|
Разнобой-2 |
||
|
Графы–1: определения, лемма о рукопожатиях, связность |
Оформив конструкцию как граф, вы заменяете нематериальные связи на наглядные рёбра, что сразу облегчает подсчёты.
| |
|
Разрезания и теорема Пифагора |
Разрезания с подсчетами площади выводят на теорему Пифагора, которая позволяет находить новые разрезания.
| |
|
Разнобой-3 |
||
|
Площади |
Естественные свойства площадей, вывод формулы плошади треугольника через разрезания, а дальше параллелограмм, трапеция и всё, что бьется на треугольники.
| |
|
Разложение на множители |
Знакомое с 6 класса разложение чисел на множители помогает решить трудные задачи, включая про НОД и НОК.
| |
|
Графы–2: Ребра и компоненты, циклы, деревья |
В деревьях и вообще связных графах число вершин и ребер связаны простым равенством(неравенством), откуда получается немало интересных следствий.
| |
|
Геометрические места точек |
Работа с конкретными множествами как фигурами развивает математические навыки лучше, чем работа с абстрактными множествами.
| |
|
Дискретная непрерывность |
Если целочисленная величина в процессе меняется на каждом шаге не больше чем на 1 (в ту или другую сторону), то она обязательно проходит через все промежуточные значения между начальным и конечным. Такая величина называется дискретной, а прием – дискретной непрерывностью.
| |
|
Испытания и оценки |
Непросто уложиться в заданное число испытаний, но для семиклассников непривычнее доказывать невозможность меньшего числа испытаний.
| |
|
Двудольные графы |
Признаки двудольности. Подсчет числа ребер в двудольном графе.
| |
|
Комбинаторика |
||
|
Площади и отношения |
Отношение площадей позволяет доказать теорему Фалеса нагляднее, чем переход от равенств целых и рациональных чисел к иррациональным отношениям.
| |
|
Относительное и круговое движение. Дополнительный участник. |
||
|
Процессы: полуинвариант |
Пусть в каком-то процессе позиции последовательно сменяются. Полуинвариант – это связанное с позицией число, которое при разрешенных действиях все время растет или все время убывает (возможно, нестрого).
Если есть строгий полуинвариант, то позиция не может повториться. В большинстве игр полуинвариант гарантирует, что игра закончится.
Типичные полуинварианты: сумма, произведение, модуль разности, сумма модулей, сумма квадратов.
| |
|
Построения циркулем и линейкой |
Построения с помощью циркуля и линейки помогают школьникам с конструктивным мышлением. На первых порах анализ случаев скорее мешает, на нем лучше не настаивать.
| |
|
Бином Ньютона |
Биномиальные коэффициенты как элементы треугольника Паскаля. Формула Бинома Ньютона. Следствие: тождества для бин. коэф., малая теорема Ферма.
| |
|
Теорема Бойяи-Гервина |
Доказываем вместе, что всякие два равновеликих многоугольника равносоставлены. Первый опыт построения маленькой теории.
| |
|
Чередование |
Обходы двудольных графов, чередование комбинаций и синхронные маячки.
| |
|
Счастливые билеты |
Отработка разных подходов к решению не одноходовой комбинаторной задачи. Применение сочетаний, разбиения, соответствия, формулы включения-исключения.
| |
|
Дополнительные построения |
Дополнительные построения в геометрии легче придумать, когда есть идея. 1. Угол между прямыми, параллельными данным, тот же, но может быть расположен удобнее. 2. Спрямление (см. ниже). 3. Построение (вспомогательного) треугольника.
| |
|
Равномерное распределение |
Справедливое(оптимальное) распределение ресурса обычно достигается при равенстве. Главное – понять, что приравнивать.
| |
|
Редукция, индукция и рекурсия |
Словом "индукция" прикрывают целый набор методов, включая редукцию и рекурсию.
| |
|
Задача о короле и ладье |
Пересечение ломаных, соединяющих пары противоположных сторон прямоугольника, вытекает из леммы Жордана и в олимпиадных задачах используется без доказательства. Задача о короле и ладье - её дискретный аналог. Доказательство её доступно семиклассникам, учит работать с маленькими теориями и повторить связность в графах и принцип крайнего.
| |
|
Спрямление через симметрию и параллельный перенос |
Спрямление. Постройте удобный отрезок, равный сумме или разности данных в условии отрезков.
| |
|
Жадный алгоритм |
Если цель – максимум какой-то величины, то ее часто достигают с помощью «жадного алгоритма», то есть добиваясь максимально возможного приращения на каждом шаге.
| |
|
Построения-2 |
Построения циркулем и линейкой с помощью вспомогательного треугольника и пересечения ГМТ.
| |
|
Геометрические примеры и алгоритмы |
Математическое конструирование. Повторяем методы: увидеть знакомое, преодлеть инерцию мышления, как такое может быть?. Осваиваем покрытия.
| |
|
Перевод на другой язык (изоморфизм) |
Геометрические задачи можно перевести в алгебраические, введя координаты. Но можно перевести и обратно: с помощью координат алгебраические задачи решать на геометрическом языке! | |
|
Принцип крайнего |
1. Нужным свойством часто обладает крайний (наибольший, наименьший) объект. 2. Узкое место. Крайние свойства могут быть и у объекта, с виду расположенного где-то в середине. 3. Критический момент часто случается в конце процесса. 4. Цепочку рассуждений выгодно начать с края, с узкого места.
| |
|
ВСЯ КНИЖКА Профи-7 |
Архив: zip doc |
Все листочки, а также вступительная и заключительная олимпиада, все матбои и аукцион (игра). |