Занятие

Дата

Файлы

Литература

Содержание занятия

1

Следствия и контрпримеры

5 сентября

doc    pdf

Как построить пример 3 Можно или нельзя. 6 Следствия и контрпримеры
Вертикальная математика, 5 Логика и перебор: Можно или нельзя

 Чтобы опровергнуть, хватит контрпримера. Чтобы доказать, необходимо рассуждение.

2

Таблицы и суммы. Подсчёт двумя способами.

12 сентября

doc    pdf

Клетки и таблицы 1 Магические таблицы
Вертикальная математика 2 Уравнения и неравенства: Подсчёт двумя способами

 Разбиение таблицы на части: строки, столбцы, прямоугольники. Подсчет общей суммы двумя способами.

3

Площади и периметры клетчатых прямоугольников

19 сентября

doc    pdf

 Сумма площадей частей, её предварительный подсчет и соображения делимости помогают как найти общее рассуждение, так и построить контрпример. Использование единственности прямоугольника при некоторых значениях площади или периметра.

4

Конструкции с повторами

26 сентября

doc    pdf

Как построить пример 4 Повторяемость
Индукция без формальностей 1 Конструкции с повторами

 Большие конструкции легче строить из одинаковых деталей. Одинаковые блоки можно построить даже из разных деталей. Но сначала лучше посчитать количество и размер блоков.

5

Логика и порядок. Узкие места

3 октября

doc    pdf

Логические задачи 2 Ищем заветную ниточку

 Схемы в виде точек на числовой прямой, кругов и генеалогических деревьев. Поиск узких мест на схемах.

6

Арифметическая прогрессия

10 октября

doc    pdf

Вертикальная математика 1 Простая арифметика: Арифметическая прогрессия

 Ищем закономерность, вычисляем далекий от начала член прогрессии по номеру и номер по члену, учитываем эффект плюс-минус 1

7

Признаки делимости

17 октября

doc    pdf

Вертикальная математика 3 Делимость и остатки: Признаки делимости
Логические задачи 2 Признаки делимости

 Комбинации признаков делимости, их применение для построения примеров с нужной делимостью

8

Рыцари круглого стола

24 октября

doc    pdf

Логические задачи 4 Таинственный остров

 Когда по кругу объекты двух типов, то часто полезно разбить их либо на одинаковые части, либо на части одинаковых подряд.

9

Пример+оценка

31 октября

doc    pdf

Вертикальная математика 6 Задачи на максимум и минимум: Оценка

 Роль примера и оценки. Оценка через делимость, подсчет дефицитного ресурса либо очевидный максимум минус 1.

10

Сумма арифметической прогрессии

7 ноября

doc    pdf

Вертикальная математика 1 Простая арифметика: Арифметическая прогрессия

 Разбиение на группы с равной суммой. Равноотстоящие от края пары.

11

Оценка+Пример. Жадный алгоритм.

14 ноября

doc    pdf

Вертикальная математика 6 Задачи на максимум и минимум: Жадный алгоритм

 В задачах на нахождение наименьшего и наибольшего решение состоит из 3 частей: начинают с ответа, затем дают пример и оценку. Оценку часто обосновывают через жадный или почти жадный алгоритм.

12

Арифметика чётности

21 ноября

doc    pdf

Вертикальная математика 3 Делимость и остатки: Чётность
Чётность 1 Чётность суммы и произведения. 2 Прибавление чётного

 Чётность: важное свойство, которое легко отслеживать. Несовпадение чётности позволяет отсекать невозможные случаи.

13

Круги Эйлера

28 ноября

doc    pdf

Вертикальная математика 1 Простая арифметика: Считай по частям.Включение-исключение

 Как найти общее число элементов в пересекающихся множествах? Учёт частей, сосчитанных дважды и трижды. Разбиение на непересекающиеся части. Подсчёт "бейджиков". Формула включения-исключения.

14

Перебор по списку

5 декабря

doc    pdf

Вертикальная математика 5 Логика и перебор: Простой перебор

Логические задачи 1 Перебор

 Для перебора полезно заранее составить список из взаимоисключающих вариантов, из которых случится ровно один, а потом все варианты по очереди проверить.

15

Делители из разложения на простые множители

12 декабря

doc    pdf

 С помощью разложения на простые множители находим все делители, считаем их. Деление как сокращение дроби. Число нулей в конце произведения.

16

Раскраска в два цвета, дефицит, чередование

19 декабря

doc    pdf

Чётность 3 Чередование

 Правильная раскраска чередует цвет поля при каждом ходе, находит цвет по чётности числа ходов, доказывает невозможность маршрутов, выявляет дефицит, оценивает оптимальность разбиения.

17

Кубики: счёт объёмов и граней

26 декабря

doc    pdf

Длина, площадь, объём 1 Площади и объёмы на клетчатой бумаге. 2 Масштаб и объём

 Объёмы и площади поверхности фигур, составленных из кубиков

18

Не единственный пример

9 января 2026 г.

doc    pdf

Вертикальная математика 6 Задачи на максимум и минимум: Простейший пример
Как построить пример 2 Ищи там, где легче

 Если нужен один пример из многих возможных, ищите там, где удобно. Может подойти знакомый объект, увиденный с неожиданной стороны. Даже если он не совсем подходит, попробуйте его подправить.

19

Дроби и доли. Пересчёт в целое.

16 января

doc    pdf

Вертикальная математика 4 Дроби, доли, средние: Пересчёт в целые. Доли целого

 Дробь можно считать долей кучи. Удобно выбрать новую мерку так, чтобы в куче было целое число мерок и все нужные доли были тоже целыми.

20

Разминка на малых

23 января

doc    pdf

Индукция без формальностей 3 Разминка на малых
Математические конструкции 4 Редукция и разминка

 Когда пример не одинок, а входит в серию подобных ему, бывает полезно сначала посмотреть на самые маленькие примеры в серии. Два-три малых примера подскажут закономерность, которая поможет разобраться и с большими конструкциями.

21

Треугольные числа, дороги и пары

30 января

doc    pdf

Комбинаторика 2 Треугольные числа

 Суммы 1+2+...+n, число рёбер в полном графе и число неупорядоченных пар.

22

Графы: города и дороги

6 февраля

doc    pdf

Графы 1 Знакомство

 Рисуем граф из точек и линий: города и дороги, прыжки, соседство. Распутываем граф. Делим на компоненты связности.

23

Кодирование цифрами и символами. Число подмножеств.

13 февраля

doc    pdf

Комбинаторика 3 Кодирование

 Чтобы перечислить или посчитать объекты, присвоим каждому короткий код: номер, букву, или строку из букв и цифр. Подмножества кодируют строками из 0 и 1.

24

Графы карт, свойства степеней вершин

20 февраля

doc    pdf

Графы 3 Лемма о рукопожатиях

 Графы карт (построение примеров). Леммы о рукопожатиях и повторении степеней.

25

Симметричные части

27 февраля

doc    pdf

 Разбиение клетчатых фигур на симметричные части и представление чисел в виде сумм и произведений палиндромов.

26

Симметричные и дополнительные пары

6 марта

doc    pdf

 Подсчет с помощью разбиения на пары, симметричные или дополнительные друг другу. Учет исключений.

27

Увидеть двудольный граф

13 марта

doc    pdf

 Правильно раскрасить вершины графа в два цвета можно, заметив что вершины делятся на два типа. Доказать, что правильной раскраски нет можно, найдя цикл из трёх взаимосвязанных вершин или вообще, найдя любой нечётный цикл.

28

Инвариант шаг за шагом

20 марта

doc    pdf

Индукция без формальностей 4 Инвариант шаг за шагом

 Инвариант - неизменное свойство, которое сохраняется при каждом разрешённом шаге. Помогает доказать, что в позицию без такого свойства прийти нельзя, а также подсказывает, к чему можно и нужно стремиться.

29

Эйлеровы пути и циклы

27 марта

doc    pdf

 Критерий эйлеровости. Вершины нечётной степени как узкое место.

30

Разбиение графа на циклы и цепи

4 апреля

doc    pdf

 Теоремы о разбиении графов на циклы и цепи.