Вертикальная математика

А.В.Шаповалов=> Книги и брошюры

Вертикальная математика для всех. Готовимся к задаче С6 ЕГЭ с 6-го класса.

Авторы: Шаповалов А.В., Ященко И.В.
Издательство: МЦНМО
ISBN: 978-5-4439-0579-2
Год издания: 2014
Тираж: 5000 экз.
Количество страниц: 128 стр.
Размер: 145x205/5

Эта книга может научить школьников 6-8 классов и старше применять свои математические знания далеко за пределами обычной программы своих классов. Если традиционная "горизонтальная" математика пополняет знания вширь, то "вертикальная" ведет в ввысь и вглубь, прививая навыки анализа в нестандартных ситуациях. Собранные в книге задачи и приемы позволяют начать такое обучение заранее и на материале, близком к школьной программе и доступном широкому кругу учащихся. В итоге пугающая многих задача ЕГЭ С6 становится несложным упражнением. Книга предназначена для самостоятельной работы школьников, будет полезна и их родителям. Учителя могут на ее основе вести кружки в 6-9 классах и готовить к ЕГЭ учеников 10-11 классов. Задачи из книги могут быть использованы как дополнительные (а иногда и подготовительные) при изучении соответствующих тем школьной программы.

Скачать Демо-версию книги (pdf)

Моё видеопредставление книги на youtube (10 мин)

Рецензии и статьи о книге

Введение
1. Простая арифметика
2. Уравнения и неравенства
3. Делимость и остатки
4. Дроби, доли, средние
5. Логика и перебор
6. Задачи на максимум и минимум
Контроль и отладка решений
Задачи C6 ЕГЭ

Введение

Математическая подготовка состоит из двух частей: знания математических формул и теорем и умения их применять. Важно уметь применять математику как в стандартных, так и в нестандартных ситуациях. Последнему, к сожалению, учат достаточно редко. Бытует заблуждение: это нужно лишь тем, кто обладает творческим мышлением и собирается посвятить свою жизнь точным наукам. Процент творчески мыслящих учеников действительно невелик, из них выходят победители олимпиад. Любопытно, однако: в науку из них идут лишь немногие, большинство оказываются востребованы в массовых профессиях – программисты, менеджеры, экономические аналитики. Но и менее успешные участники олимпиад, летних школ и математических кружков находят себя в этих профессиях. Востребованным оказывается умение разбираться в нестандартных ситуациях. А оно не столь уж редко. Вспомните, ведь и вам наверняка приходилось в такие ситуации попадать: отменили электричку, забыли дома кошелёк, ключ перестал открывать дверь... В общем, стандартный способ перестал работать, но вы как-то разобрались и выкрутились. Скажем, применили какие-то знания или средства, о которых в нормальной ситуации и не вспоминали.

Ровно так же решаются и нестандартные задачи, в частности, пресловутая задача C6 из ЕГЭ. Математических знаний для неё нередко хватает и семикласснику, но подводит неготовность разбираться в ситуации. Вот эту-то готовность кружковцы и олимпиадники в себе постоянно и тренируют, и она потом им помогает в жизни даже тогда, когда содержимое уроков оказывается забытым.

Традиционный курс математики в школе содержит, конечно, навыки анализа ситуации. Однако потребность в таких навыках возникает сравнительно редко и нерегулярно. Темы, где навыки нужны, заслуженно считаются сложными (например, математический анализ или решение неравенств с рациональными функциями). Кружковцы же с этими темами обычно справляются гораздо успешнее. Хитрость тут в том, что навыки и сложный материал они изучают по отдельности: навыки приобретаются в младших классах и на простом и интересном в этом возрасте материале, а сложный материал в старших классах ложится на уже подготовленную почву. Помогает и то, что привыкание к непростым навыкам происходит без спешки, в течение длительного периода, а не за короткие недели, отведенные на усвоение темы.

Данная книга призвана помочь заинтересованным школьникам научиться таким навыкам, а учителям – заблаговременно научить. Книга доступна школьникам начиная с 6 класса, подавляющее число задач по материалу относятся к алгебре 7-8 класса. Материал задач достаточно близок к школьному, но авторы старались выбирать интересные формулировки. Основной способ работы – самостоятельное решение задач, затем сравнение своих решения с приведенными в книге, чтение и осмысление решений и комментариев. Школьники могут заниматься сами или консультируясь с учителями, родителями, продвинутыми сверстниками. Учителя могут давать задачи как дополнительные на уроках, а также вести по материалам книги факультативы и кружки.

Мы надеемся, что книга не только повысит успеваемость проработавших её школьников, но и поможет преодолеть барьер между школьной и кружковой математикой, а также барьер между изучением математики и её применением.

Структура книги

Книга разбита на 6 разделов: 1. Простая арифметика. 2. Уравнения и неравенства. 3. Делимость, остатки. 4. Дроби, доли, средние. 5. Логика, перебор. 6. Задачи на максимум и минимум.

В каждом разделе есть 5-6 озаглавленных тем, представленных тремя задачами с подробными решениями и комментариями, а также список номеров дополнительных задач, подходящих в тему. После тем в каждом разделе идут дополнительные задачи раздела, среди которых есть и некоторые пункты задач С6. Они специально не выделены, чтобы показать, что в них нет ничего особого по сравнению с соседними задачами – ни по формулировкам, ни по трудности. Ответы и решения дополнительных задач вынесены в последнюю главу каждого раздела.

Помните, что дополнительные задачи предназначены для вдумчивого освоения тем и изложенных в них приёмов. Они упорядочены по сложности, но приёмы идут вразнобой. Не обольщайтесь частичными решениями: важно получить и правильный ответ, и его обоснование. Если найден только ответ, постарайтесь правильно объяснить (хотя бы самому себе) путь к нему. Если правильно выбран приём, а ответ неверный, постарайтесь понять причину ошибки. И учитесь придумывать способы проверять ответ, не заглядывая в книгу. Советы по проверке вы найдёте в конце книги. Там же есть список использованных задач ЕГЭ и список рекомендованной литературы.

Контроль и отладка решений

Решение сложных задач состоит из нескольких шагов. И даже если каждый шаг сам по себе прост, выполнить всю цепочку безошибочно не так легко. Простое увеличение аккуратности и внимательности не слишком помогает. Опытный бегун понимает, что пробежать километр – это не то же, что 10 раз пробежать стометровку. Так же и опытный решатель знает, что длинные вычисления надо выполнять не так, как короткие: их надо организовать и проверить.

Вот несколько советов.

1) Разделите решение на несколько логических частей. Каждая часть должна решать отдельную подзадачу. Надо (хотя бы для себя) четко сформулировать, какую именно подзадачу вы решаете, и что именно должны получить в конце. Четко проговаривать полезно даже отдельные шаги: см., например, решение 2.9.

2) Если есть сомнение в каком-то шаге, подумайте, как его проверить. Например, полезно чувствовать ситуации с «эффектом плюс-минус один» (см. задачи 1.1, 1.10, 1.13, Д1.1, Д1.5–Д1.8), когда вы «в принципе правильно» знаете, что делать, но можете ошибиться на 1. Устройте отладку: решите для проверки тем же способом задачку с маленькими числами, где ответ можно «проверить руками». Например, надо узнать, сколько дней с 7-го по 28-е мая включительно. Вам кажется, что 28–7=21 день. Изменим условие: сколько дней с 7-го по 8-е включительно? По той же схеме 8–7=1 день, но непосредственно видно, что дней два: 7-е и 8-е. Дальше можно либо предположить, что мы просто недоучитываем один день, добавить его, и получить 21=1=22 дня. Это верно, но надёжнее разобраться, откуда ошибка, и исправить её (см. задачу 1.1).

3) Отладкой можно проверять и решения задач другого типа (см. 1.2), в том числе более сложных. Проще всего проверяется ответ в виде формулы. Подставив вместо буквенных значений числовые, мы получим числовой ответ. Надо только подобрать такие числа, чтобы задача с ними легко решалась. Точно также можно восстановить точный вид формулы, которую вы помните приблизительно. Пусть, например, вы засомневались, равна ли сумма 1+2+ +n выражению n(n–1)/2 или n(n+1)/2? Подставив n=2 вы сразу увидите, что правильный ответ даёт вторая формула!

4) Решение задачи или подзадачи можно проверить, решив её двумя способами (см., например, 2.1).

5) Громоздкие вычисления с целыми числами можно проконтролировать, вычислив последнюю цифру результата (как мы делали в 3.16).

6) Вычисления контролируют с помощью оценок. Скажем, перемножив два трехзначных числа, вы получили четырёхзначное число. Тут что-то не так. Ведь оба сомножителя не меньше 100, поэтому произведение не меньше 10000 – уже пятизначно!

Осознав важность самоконтроля, вы наверняка придумаете много способов дополнительной проверки, и сможете заметно повысить надёжность своих выкладок. Помните «правило альпинистов»: на вершину взойдёт не тот, кто не поскальзывается, а тот, кто поскользнувшись, сумеет подняться и пойти дальше. Успешных вам «восхождений»!

А.В.Шаповалов=> Книги и брошюры