Автор:
Блинков А.Д.Издательство: МЦНМО
ISBN: 978-5-94057-918-2
Год издания: 2012
Тираж: 3000 экз.
Количество страниц: 168 стр.
Размер: 144x203/8
Автор:
Блинков А.Д.Седьмая книжка серии "Школьные математические кружки" посвящена классическим средним величинам, большинство из которых были известны еще в древности, и применениям их свойств при решении арифметических, алгебраических и геометрических задач. Особое внимание уделено взаимосвязи различных средних величин и установлению межпредметных связей между некоторыми темами школьных курсов алгебры и геометрии. Книжка предназначена для занятий со школьниками 5-11 классов. В нее вошли разработки десяти занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. Приведен также большой список дополнительных задач различного уровня трудности. Для удобства использования заключительная часть книжки сделана в виде раздаточных материалов. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям элементарной математики.
Скачать Демо-версию книги (pdf)
Купить электронную версию книги на litres.ru
1. Вычисление среднего
арифметического и взвешенного среднего арифметического
2. Свойства
среднего арифметического
3. Среднее гармоническое и среднее
геометрическое
4. Сравнение средних
5. Построения классических
средних на одном чертеже
6. Среднее арифметическое. Разностные
треугольники
7. Среднее геометрическое
8. Среднее
гармоническое. Гармонические треугольники
9. Среднее квадратичное.
Автомедианные треугольники
10. Среднее арифметическое взвешенное.
Векторы и координаты
Предлагаемая книжка содержит небольшой вводный текст, содержащий основные определения и объясняющий происхождение классических средних, и десять тематических занятий математического кружка, разбитых на два раздела. В материалы каждого занятия входят: вступительный и поясняющий текст учителя, включающий в себя: несколько подробно разобранных типовых задач по теме; задачи, которые могут быть предложены учащимся для самостоятельного решения (как на занятии, так и дома); подробные решения этих задач; методические комментарии для учителя. В разделе приложений представлен обширный список дополнительных задач различного уровня трудности, часть из которых в какой-то степени дублирует задачи, предложенные для занятий, а часть – дополняет их новыми идеями (наиболее сложные задачи отмечены знаком *). Эти задачи можно использовать на усмотрение преподавателя (или обучающегося). Для них также приведены, как правило, подробные решения (в наиболее простых случаях – ответы и указания).
Для удобства, в конце каждого занятия приведен список задач из этого раздела, которые имеет смысл использовать для закрепления материала, контроля его освоения и углубления. Следует учесть, что есть задачи, которые отнесены к нескольким занятиям (поскольку допускают различные подходы). Кроме того, для удобства преподавателей, в разделе приложений помещен раздаточный материал. В конце книги приведен список литературы, на которую иногда делаются ссылки в тексте. Большую часть этих изданий и публикаций можно использовать в качестве дополнительной литературы.
Занятия 1 – 3 первого раздела ориентированы на учащихся 5 – 7 классов, а занятие 4 – на учащихся 8 – 9 классов. Проведение этих занятий может помочь школьникам освоиться с различными приложениями среднего арифметического нескольких чисел, узнать и научиться применять его различные свойства, познакомиться с понятием взвешенного среднего арифметического, а также установить логические связи между основными величинами в задачах на движение и их аналогами в других текстовых задачах. Это должно повысить вычислительную, алгебраическую и логическую культуру учащихся и расширить возможности решения ими текстовых задач за счет применения рациональных и эффективных методов, опирающихся на взаимосвязь средних величин.
Занятия 5 – 9 второго раздела ориентированы на учащихся 8 – 10 классов, а занятие 10 – на учащихся 10 – 11 классов. Проведение этих занятий может помочь школьникам познакомиться с типичными геометрическими конфигурациями, в которых возникают классические средние величины, узнать различные геометрические способы доказательства неравенств о средних для двух положительных чисел, познакомиться с особыми видами треугольников, связанных со средними величинами. Это позволит повторить многие разделы школьного курса геометрии, развить уже имеющиеся навыки решения геометрических задач, расширить арсенал методов их решения (в том числе за счет эффективного применения векторов) и познакомиться с рядом интересных геометрических фактов, выходящих за пределы стандартной школьной программы.
Естественно, что преподаватель математического кружка может по своему усмотрению использовать только часть предложенных занятий, поменять порядок их изучения, и т. д. При этом, имеет смысл учитывать, что материалы занятий 1 – 5, 7 и 10 достаточно близки к общеобразовательной программе, а занятия 6, 8 и 9 ориентированы на более глубокое «погружение» в геометрический материал.
Предлагаемые разработки занятий различаются и с методической точки зрения, что обусловлено как спецификой их содержания, так и возрастными особенностями школьников. Предполагается, что при проведении занятий первого раздела задачи 1 – 6 (в занятии 4 – задачи 1 – 5) вступительной части предлагаются учащимся последовательно, по одной, и после того, как какая-то часть школьников решит задачу, проводится общее обсуждение решения и делаются какие-то обобщения. При проведении занятий второго раздела материал вступительной части занятия обсуждается со школьниками, в основном, фронтально.
Автор благодарен своей ученице Е. Харитоновой (выпуск 2005 года) за коллекцию геометрических задач, представленных в ее экзаменационном проекте, И.А. Кушниру, из книг которого взято много интересных задач, Ю.А. Блинкову и А.И. Сгибневу – за полезные обсуждения, Е.С. Горской – за выполнение прекрасных чертежей.
Отдельная и огромная благодарность – Александру Васильевичу Шаповалову: за подборки задач, за внимательное прочтение книжки, за подробные комментарии, способствовавшие существенному улучшению ее текста, и за написание содержательного послесловия.
Средние: что дальше ...
Проработав материал этой книжки, ученик станет «на ты» со средними, особенно в геометрии. Для него не будет проблемой доказать, что та или иная величина является средним указанного вида. Но кое-кто захочет пойти дальше, и, вероятно, поставит такие вопросы: а) а можно ли заранее (до начала выкладок) догадаться, что величина C – это некоторое среднее двух данных величин x и y, и если да, то б) какое именно из средних? в) как использовать знание, что C – это такое-то среднее величин x и y?
Легче ответить на вопрос в). Во многих случаях из алгебраического равенства следуют чисто геометрические свойства – см., например, свойства разностных (занятие 6), гармонических (занятие 8) или автомедианных (занятие 9) треугольников. Вообще, знание явной формулы для C никогда не повредит: ее можно использовать в последующих уравнениях и неравенствах. В частности, можно доказывать геометрическое неравенство, сведя его к неравенству между средними (см., например, задачу Д57).
На вопросы а) и б) нет ответа, гарантирующего стопроцентный результат. Но есть несколько полезных соображений.
Проверка гипотез. Пусть возникла некоторая гипотеза (скажем, что величина C есть какое-то из средних для величин x и y, или, что C выражается через x и y такой-то формулой), но доказать эту гипотезу с ходу не удается. Тогда, прежде чем погружаться в выкладки, полезно эту гипотезу проверить.
а) Свойства средних. Гипотезу, что C есть какое-то среднее x и y, легче всего проверить через свойства средних. Выделим пять свойств, занумеровав их так, что чем меньше номер свойства, тем легче его проверять.
1. С(kx, ky) = kC(x, y) при k > 0 (однородность или одинаковая размерность)
2. C = x <=> x = y <=> C = y (совпадение только при равенстве)
3. С зависит от x и y симметрично (исключением является взвешенное среднее).
4. C зависит только от x и y.
5. Если x < y , то x < C < y (среднее лежит между числами).
Доказательства этих свойств очевидны, но некоторые требуют пояснения.
Свойство 1 в геометрии означает (почти всегда), что x, у и C имеют одинаковую размерность, то есть либо все три величины это длины, либо они все – площади, либо они все – объемы. Тогда при гомотетии все три умножаются на одинаковую степень коэффициента гомотетии. И наоборот, если x и y – одной размерности (например, длины), а предполагаемое среднее C – другой (например, площадь), то при гомотетии с коэффициентом k > 0 равенство, очевидно, нарушится.
Свойство 4 очевидно для конструкций, жестко определяемых параметрами x и y (см, например, конструкцию задачи 5.1). Но такая жесткость есть далеко не всегда. Так, в задаче 5.2 длины x и y оснований трапеции вовсе не задают однозначно длины ее боковых сторон, диагоналей и т. д. Даже и длины параллельных основаниям отрезков с концами на боковых сторонах могут зависеть не только от x и y (например, «плохим» будет отрезок, делящий пополам периметр трапеции).
Увы, даже выполнение всех свойств не гарантирует, что верна одна из формул средних (например, когда в треугольнике со сторонам x и y и углом 60° между ними С – третья сторона). Но такое бывает очень редко.
б) Отладка
формулы. Пусть у
нас есть несколько вариантов формулы, и мы хотим узнать, какой из
этих вариантов верен (может быть, и никакой). Тут можно рассмотреть
как можно более простые частные случаи, и проверить, какая из формул
подойдет для них. Для средних полезен, например, случай x
= 0. При этом, правда, некоторые
фигуры могут выродится: отрезок может стать точкой, трапеция с
основанием x
превратится в треугольник, а ее
диагонали сольются с боковыми сторонами. Но часто условие остается
осмысленным, а вычисление C
упрощается. Посмотрим, например, на C
в задаче 5.2а при a
= 0.
1) Отрезок, соединяющий
середины боковых сторон, стал средней линией треугольника, C
= b/2
. Значит, подходит только среднее
арифметическое.
2) Отрезок, проходящий через точку пересечения
диагоналей совпал с верхним основанием, C
= 0. Значит, подходят среднее
геометрическое и среднее гармоническое.
3)
Отрезок отсёк треугольник вдвое меньшей площади, C
= b/2.
Подходит только среднее квадратичное.
Для отрезка п.2 подберем еще один частный случай, чтобы выбрать между двумя подходящими средними. Рассмотрим трапецию, отсеченную от треугольника средней линией, ее основания x и 2x. Диагонали трапеции – это медианы треугольника, выше их точки пересечения лежит 2.3 третьей медианы, поэтому C = 4x/3. Подходит только среднее гармоническое.
Помимо прочего, «отладка» помогает точно выписать формулу, которую вы помните приблизительно, «с точностью до знаков и коэффициентов».
[1] А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.
Геометрия для 8 – 9 классов. Учебное пособие для учащихся школ
и классов с углубленным изучением математики. – М.:
Просвещение, 1991.
[2] А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.
Геометрия для 10 – 11 классов. Учебное пособие для учащихся
школ и классов с углубленным изучением математики. – М.:
Просвещение, 1992.
[3] М.Б. Балк, В.Г. Болтянский. Геометрия
масс. – М.: Физматлит, 1987.
[4] А.Д. Блинков. «Сценарии
уроков математики (6 – 11 классы)»,
предметно-содержательный журнал «Современный урок», ОЦ
«Педагогический поиск», 2007 – 2011.
[5] Н.Я.
Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. Математика. Учебник для 6
класса средней школы. – СПб, «Свет», 1996.
[6]
М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре
для 8 – 9 классов. Учебное пособие для школ и классов с
углубленным изучением математики. – М.: «Просвещение»,
1992.
[7] А.М.
Гольдман, Л.И. Звавич. Числовые средние и геометрия.
Научно-популярный физико-математический журнал «Квант»,
№9, 1990.
[8] Р.К.
Гордин. Геометрия. Планиметрия. Задачник для 7 – 9 классов.
– М.: МЦНМО, 2012.
[9]
С.И. Зетель. Новая геометрия треугольника. – М.: Учпедгиз,
1963.
[10] С.И. Зетель.
Свойства треугольника, стороны которого составляют арифметическую
прогрессию. «Математическое просвещение», №5, 1936.
[11] Д.В. Клименченко. Задачи по математике для любознательных. –
М.: Просвещение, 1992.
[12] И.А. Кушнир. Возвращение утраченной
геометрии. – К.: «Факт», 2000.
[13] И.А.
Кушнир. Геометрия на баррикадах. – К.: «Факт»,
2009.
[14] Московские
математические регаты / Сост. А.Д. Блинков, Е.С. Горская, В.М.
Гуровиц. – М.: МЦНМО, 2007.
[15] В.В.
Прасолов. Задачи по планиметрии: в 2 ч. – М.: МЦНМО, 2007.
[16] В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. –
М.: Физматлит, 1989.
[17] А.П.
Савин, В.А. Сендеров. Описанная трапеция и средние.
Научно-популярный физико-математический журнал «Квант»,
№8, 1972.
[18] З.М.
Скопец. Сравнение различных средних двух положительных чисел.
Научно-популярный физико-математический журнал «Квант»,
№2, 1971.
[19] Энциклопедический словарь юного математика. /
Сост. А.П. Савин. – М.: «Педагогика», 1985.
[20]
А.Х. Шень. Дюжина задач о среднем
арифметическом. Научно-популярный физико-математический журнал
«Квант», №6, 2008.
1. www.problems.ru – база задач по математике.
2. www.geometry.ru – всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина.
3. olympiads.mccme.ru/ustn – устные геометрические олимпиады.