А.В.Шаповалов => Книги и брошюры

Принцип узких мест

Автор: А.В.Шаповалов

Книга посвящена поиску решения нестандартных математических задач. Она предлагает общий подход, объединяющий широкую группу известных приемов. Изложение ведется в непринужденной манере. Упор делается на разбор примеров, на то, как принцип узких мест помогает находить решения. В качестве примеров и задач для самостоятельного решения использованы более 30 оригинальных задач автора.

Книга адресуется всем любителям интересных задач, в первую очередь—школьникам старших классов, а также учителям и руководителям математических кружков.

По сравнению со вторым изданием, выходившим в 2008 году, добавлена глава «Как такое может быть?» и расширен список задач.

Где тонко, там и рвется.

Решать нестандартную задачу – все равно, что идти через дикий лес. Можно, конечно, выбирать шаги наугад, но тогда скорее всего будешь попадать то в непроходимую чащу, то в болото. Придется ходить туда-сюда, но даже если повезет и пройдешь куда надо, то зря потратишь время и силы. Гораздо легче идти, если есть хоть какой-то ориентир. Скажем, забрался на горку и увидел, что надо обязательно перейти речку, и сделать это можно только в одном месте. Это, конечно, уменьшает свободу выбора пути, зато избавляет от ненужных блужданий.

Вот и в задачах, где строят и исследуют конструкции, зацепкой к решению часто служит та часть конструкции, где свобода выбора – наименьшая. Именно это мы и назовем узким местом. Ясно, что от узкого места быстрее дойти до противоречия или легче построить заметный кусок возможной конструкции.

Давайте посмотрим, как можно узкие места выявить и использовать. Наряду с интуицией на помощь приходят известные приемы решения задач: соображения непрерывности, правило крайнего, раскраска, принцип Дирихле, аналогия, инвариант, минимальный контрпример. Чтобы подчеркнуть особенности каждого из приемов для поиска узких мест, мы сгруппируем задачи  по небольшим главам.

Ищи главное препятствие

Кто нам мешает, тот нам поможет.

Подстерегай на переправе (непрерывность обычная и дискретная)

Сколь ни вдоль, а поперек изволь.

Узкие места – в первую очередь (правило крайнего)

Век свободы не видать!

Подсчет узких мест (раскраска и принцип Дирихле)

Каждому пассажиру – по мягкому месту.

Посоветуйся с соседями (частный случай и аналогия)

Если нельзя, но очень хочется – то можно!

Несвобода в целом (инвариант)

Путешествуя по Советскому Союзу, иностранец упал в строительную яму.
Ругается: У нас опасные места принято красными флажками огораживать.
Рабочий: А ты что, пересекая границу, красных флагов не видел, что ли?

Самая первая неудача (минимальный контрпример и метод спуска)

- Если уж падать с высокой лестницы – то лучше со ступеньки пониже.

Эпилог

Конечно, перечисленные подходы далеко не исчерпывают способы поиска узких мест. К тому же автор намеренно ограничил материал кругом наиболее ему знакомых комбинаторно-конструктивных задач, вполне сознавая, что область применения принципа узких мест гораздо шире. Свои способы поиска узких мест наверняка есть и при решении задач по алгебре, геометрии, теории чисел. Но об этом как раз стоило бы написать именно специалистам в этих областях. Автор надеется, что соединение специальных приемов с поиском узких мест позволит этим приемам стать более общими, а принципу узких мест – менее размытым. Ну, а приведенные аналогии с житейскими ситуациями намекают на применимость принципа узких мест и за границами математики и даже науки: нестандартные задачи всюду встречаются...

Для некоммерческого использования можно скачать: второе издание в формате pdf

Листки авторских занятий на тему "Принцип узких мест" можно найти в подборке Конструктивы.

Отзыв о книге можно оставить вот здесь