Кружок при школе Сони Ковалевской, 5 класс, 2002 г.

Переливания

Задачи на переливания - это введение в алгоритмы для маленьких. Они незаменимы ввиду наглядности и необходимости делать подсчёты.

Кружок при школе Сони Ковалевской, 5 класс, 2002 г.

Конструкции

Именно умение придумать конструкцию выделяет среди малообученных учеников умеющих мыслить. Доказательства и рассуждения можно вводить позднее как средства сократить перебор при поиске конструкции.

Сириус, 7 класс, сентябрь 2016 г.

Как такое может быть

Даже если конструкция кажется невозможной, полезно попытаться её построить.

Кировская ЛМШ, 6 класс, 1999 г.

Геометрические конструкции

Наглядные конструкции на клетчатой бумаге, а также конструкции из точек и прямых позволят приобщить к геометрии тех, кто ещё даже не начал её изучать.

Кировская ЛМШ, 6 класс, 1999 г.

Можно или нельзя
Условия    Указания и решения

На задачах этого типа нужно учить разбираться не с формой, а с сутью. Здесь незначительное на вид изменение числовых данных может дать прямо противоположный ответ.

Кружок при школе Сони Ковалевской, 5 класс, 2002 г.

Можно или нельзя

Говорят "Кто хочет, ищет способ, кто не хочет, ищет причину". Это значит, если можно – ищи способ построить, а если нельзя – ищи доказательство (причину) невзможности.

Брошюра Как построить пример?

Как такое может быть?
Видеоурок (14 мин)

Если в задаче с вопросом "Может ли?" вы подозреваете ответ "Да", то спросите себя "Как такое может быть?"

Кружок при школе Сони Ковалевской, 5 класс, 2002 г.

Конструкции на много-мало

Главная идея проста: если хочется побольше побед и поменьше поражений, то нормально выигрывать по чуть-чуть и не страшно проигрывать по-крупному.

Кировская ЛМШ, 1999, 6 класс

Разумно организованный перебор

Учимся перебирать эффективно, то есть не пропускать случай, но и не тонуть в случаях.

Кировская ЛМШ, 1999, 6 класс

Повторяемость и симметрия
Условия    Указания и решения

Целую конструкцию можно составить из одинаковых блоков. Это особенно удобно, когда блоков нужно много.

Кировская ЛМШ, 1999, 6 класс

Конструкции на много-мало:

Условия: doc    pdf
Указания и решения: doc    pdf

Много и мало – понятия относительные. Если надо выигрывать чаще, а силы равны, то надо много раз выиграть по чуть-чуть, а проиграть много, но один раз.

Кружок при школе Сони Ковалевской, 5 класс, 2002 г.

Пример+оценка

Эти задачи двустворчатые: оптимальная конструкция должна быть подтверждена оценкой. Обычно конструкцию придумать проще, чем получить оценку, но бывает и наоборот: оценка подсказывает, какую конструкцию искать.

Кружок при школе Сони Ковалевской, 5 класс, 2002 г.

Постепенное конструирование

Прежде чем браться за конструкцию для больших значений параметра, полезно разобраться с малыми.

Кружок при школе Сони Ковалевской, 5 класс, 2002 г.

Повторы и симметрия

Строя конструкцию из многих "кирпичей", проще брать их одинаковыми. Неодинаковые детали можно объединять в одинаковые блоки. Пользуйтесь тем, что равны детали, полученные друг из друга симметрией, поворотом или сдвигом.

Кировская ЛМШ, 1999, 6 класс

Постепенное конструирование:

Условия: doc    pdf
Указания и решения: doc    pdf

Сложные конструкции строят постепенно, как здание - этаж за этажом, при этом опирая следующий этаж на предыдущий.

Онлайн-кружок в классе Л.Баевой, Наб.Челны, 2013-14
Школа "Математика у моря", 6-7, 2014 г.

Преодолеть инерцию мышления

Когда вводишь ограничения при поиске примера, помни о них. Если пример находится не сразу, надо будет расширять круг поиска, постепенно отказываясь от ограничений. Трудно, однако, отказаться от того, чего не замечаешь. Обходишь, например, все больше магазинов, а вещь не попадается. А ее, оказывается, вообще в магазинах не продают… Это и есть инерция мышления: создание для себя невидимых барьеров.

Школа "Математика у моря", 6-7, 2014 г.

Поиск перебором

Идеи найдены и применены, круг поиска очерчен, но варианты все ещё остаются. Перебирать надо эффективно, то есть не пропустить случай, но и не утонуть в случаях.
Перебор зависит от цели. В задачах с вопросами «Как можно…» или «Может ли …» и «Существует ли…» (с ответом «Да») достаточно найти одно  решение. Тогда перебор надо начинать с удобных случаев.

Онлайн-кружок в классе Л.Баевой, Наб.Челны, 2013-14

Поиск перебором

Идеи найдены и применены, круг поиска очерчен, но варианты все ещё остаются. Перебирать надо эффективно, то есть не пропустить случай, но и не утонуть в случаях.
Перебор зависит от цели. В задачах с вопросами «Как можно…» или «Может ли …» и «Существует ли…» (с ответом «Да») достаточно найти одно  решение. Тогда перебор надо начинать с удобных случаев.

Кировская ЛМШ, 1999, 6 класс

Аналогия и обоснование

В задаче с параметром полезно разобраться сначала для малых значений параметра. Это поможет решению в общем случае.

Онлайн-кружок в классе Л.Баевой, Наб.Челны, 2013-14
Школа "Математика у моря", 6-7, 2014 г.

Редукция и разминка

Метод получения простой конструкции может стать вспомогательным средством («строительными лесами»). Конструкция из упрощенной задачи послужит подсказкой к конструкции сложной задачи. Грубо говоря, прежде чем строить большой дом, полезно размяться: потренироваться на строительстве сараев и хижин.

Онлайн-кружок в классе Л.Баевой, Наб.Челны, 2013-14
Школа "Математика у моря", 6-7, 2014 г.

Узкие места

В задачах, где строят и исследуют конструкции, зацепкой к решению часто служит та часть конструкции, где свобода выбора – наименьшая. Такие места служат препятствиями к построению конструкции, или кажутся таковыми. Именно их мы и назовем узкими местами.

Онлайн-кружок в классе Л.Баевой, Наб.Челны, 2013-14
Школа "Математика у моря", 6-7, 2014 г.

Ослабление условий

Сложную конструкцию можно построить, улучшив заготовку. Для этого метод ослабления условий рекомендует сначала временно отказаться от части условий задачи и построить конструкцию, где выполнены только оставшиеся условия.

Школа "Математика у моря", 6-7, 2014 г.

Пример +оценка. Счёт узких мест.

В задачах на пример+оценку пример и оценка – обычно две отдельные части решения; смешивать их не стоит. В комбинаторных задачах оценка часто получают, выделив подсчитав узкие места. Эти места помогают и пример построить. В задачах на оценку+алгоритм часто строят пример именно при доказательстве оценки.

Онлайн-кружок в классе Л.Баевой, Наб.Челны, 2013-14

Пример +оценка. Счёт узких мест.

В задачах на пример+оценку пример и оценка – обычно две отдельные части решения; смешивать их не стоит. В комбинаторных задачах оценка часто получают, выделив подсчитав узкие места. Эти места помогают и пример построить. В задачах на оценку+алгоритм часто строят пример именно при доказательстве оценки.

Кружок при школе Сони Ковалевской, 7 класс, 2004 г.

Алгоритмы

Алгоритм – это способ достижения цели через жестко определенную последовательность шагов. Когда в ответе надо предъявить алгоритм, естественно рассматривать его как составную конструкцию.

Сириус, 8 класс, 2015 г.

Много не мало, или Мнимые противоречия

doc    pdf

Много и мало – понятия относительные. Если надо выигрывать чаще, а силы равны, то надо много раз выиграть по чуть-чуть, а проиграть много, но один раз.

Московские сборы: 8 класс 2014 г. и 9 класс 2012 г.

Как такое может быть?
2014-8кл
2012-9кл

Если в задаче с вопросом "Может ли?" вы подозреваете ответ "Да", то спросите себя "Как такое может быть?"

Московские сборы, 8 класс, 2014 г.

Узкие места
Группа 8-1
Группа 8-2

В задачах, где строят и исследуют конструкции, зацепкой к решению часто служит та часть конструкции, где свобода выбора – наименьшая. Такие места служат препятствиями к построению конструкции, или кажутся таковыми. Именно их мы и назовем узкими местами. Начиная от узкого места, легче прийти к противоречию или однозначно построить существенный кусок конструкции. Использовав одно узкое место, постарайтесь найти следующее.

Московские сборы, 9 класс, осень 2013 г.

Узкие места
Группа 9-1
Группа 9-2

Узкие места обычно сочетаются с постепенным конструированием: выявив одно узкое место и использовав его для построения части конструкции, полезно поискать следующее узкое место.

Московские сборы, 8 класс, 2014 г.

Редукция и разминка
Группа 8-1
Группа 8-2

Метод получения простой конструкции может стать вспомогательным средством («строительными лесами»). Конструкция из упрощенной задачи послужит подсказкой к конструкции сложной задачи. Грубо говоря, прежде чем строить большой дом, полезно размяться: потренироваться на строительстве сараев и хижин. Если упрощенной задачи нет, придумайте её сами. Можно уменьшить число, отказаться от других не принципиальных моментов. Но принципиальные условия надо сохранить.

Школа "Математика у моря", 7-8 класс, 2014 г.

Испытания и оценки

Пусть надо выявить один предмет из многих, и каждый вопрос делит все предметы на несколько групп, выясняя, в какую из групп попал искомый случай. Жадный алгоритм рекомендует делить на равные группы или делать максимальный размер группы как можно меньше.

Школа "Математика у моря", 7-8 класс, 2014 г.

Пространство вариантов

Если надо найти не предмет, а один вариант ответа из некоторого множества (пространства) возможных вариантов, то полезно выписать все возможные варианты. А затем делать такие испытания, чтобы количество подозрительных вариантов в наихудшем случае было как можно меньше.

Московские сборы, 8 класс, 2014 г.

Испытания и оценки. Пространство вариантов
Группа 8-1
Группа 8-2

Пусть надо выявить один предмет из многих, и каждый вопрос делит все предметы на несколько групп, выясняя, в какую из групп попал искомый случай. Выгоднее делить на равные или примерно равные группы. В простых случаях ответы являются предметами: монетами, карточками, числами. В сложных случаях варианты ответа будут комбинациями: парами предметов, или предмет+свойство. Комбинации можно выписать на карточки и рассуждать с карточками как с предметами.

Школа "Математика у моря", 7-8 класс, 2014 г.

Неоднозначные данные

Чтобы доказать, что информации недостаточно для получения однозначного ответа, можно построить два примера, которые удовлетворяют всем условиям, но дают разные ответы. Неразличимые примеры и контрпримеры могут строится после того, как испытания уже проведены и ответы даны, с использованием уже полученной информации. Этот метод часто применяется, чтобы опровергнуть предположение о наличие «гарантированного» алгоритма.

Кружок при школе Сони Ковалевской, 8 класс, 2005 г.

Построения циркулем и линейкой

Задача на построение – это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой (односторонней и без делений). Решение таких задач состоит не в том, чтобы проделать «руками» соответствующие построения, а в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть, описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений. Подробнее тут

Московские сборы, Осень 2012, 9 класс

Конструкции по индукции-1

Многоэтажные здания строят, ставя по очереди следующий этаж на предыдущий. В математике этому соответствует индуктивное построение, когда, например, конструкция для n+1 строится из конструкции для n. Бывают конструкции, где удобнее надстраивать сразу по нескольку этажей. База индукции состоит обычно из нескольких конструкций.

Московские сборы, Осень 2012, 9 класс

Конструкции по индукции-2

Продолжение предыдущего занятия: задачи посложнее.

Московские сборы, Осень 2012, 9 класс

Жадный агоритм
группа «Жёлтые»
группа «Оранжевые»

Алгоритм – это способ достижения цели через жестко определенную последовательность шагов. Когда в ответе надо предъявить алгоритм, естественно рассматривать его как составную конструкцию. Типичные примеры: выигрышная или ничейная стратегия в играх. Кроме того, алгоритмы регулярно возникают в задачах на испытания. Если цель – максимум какой-то величины, то ее часто достигают с помощью «жадного алгоритма», то есть, добиваясь максимально возможного приращения на каждом шаге.
Часто можно показать, что жадный алгоритм не достигает результата. Доказав недостижимость, подумайте, нельзя ли из этого извлечь указания, и достичь результата, следующего за жадным.