Авторы:
Блинков А. Д., Блинков Ю. А.Издание: 4-е, стереотипное
Издательство: МЦНМО
ISBN: 978-5-4439-1111-3
Год издания: 2017
Тираж: 2000 экз.
Количество страниц: 152 стр.
Размер: 143x200/8
Авторы:
Блинков А. Д., Блинков Ю. А.Четвертая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена геометрическим задачам на построение и предназначена для занятий со школьниками 7-9 классов. В нее вошли девяти занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. Приведен также большой список дополнительных задач. Большинство задач, разобранных в книжке, являются классическими для этого раздела геометрии. В приложениях содержатся исторические сведения, а также рассматриваются некоторые вопросы повышенной трудности, связанные с геометрическими задачами на построение. Для удобства использования заключительная часть книжки сделана в виде раздаточных материалов. Книга адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям геометрии.
Скачать Демо-версию книги (pdf)
Купить бумажную версию (90 руб) в магазине Математическая книга
Купить электронную версию книги на litres.ru
1. Метод вспомогательного треугольника
2. Метод геометрических мест
3. Построения, связанные со
свойствами четырехугольников и с замечательными линиями и точками
треугольников
4. Алгебраические методы
5. Применение движений
к решению задач на построение
6. Построение треугольников и
четырехугольников с помощью движений
7. Методы подобия и
гомотетии
8. Типичные конфигурации в задачах на построение
9.
Необычные построения
Предлагаемая книжка содержит девять тематических занятий математического кружка. В материалы каждого занятия входят: вступительный и поясняющий текст учителя, включающий в себя: несколько подробно разобранных типовых задач по теме; задачи, которые могут быть предложены учащимся для самостоятельного решения (как на занятии, так и дома); подробные решения этих задач; методические комментарии для учителя.
Кроме того, отдельно представлен обширный список задач на построение различного уровня трудности (наиболее сложные из них отмечены знаком *), которые можно использовать на усмотрение учителя (или обучающегося). Для этих задач приведены, как правило, краткие указания к решениям, иногда – краткие или полные решения. Для удобства, в конце каждого занятия приведен список задач этого раздела, которые имеет смысл использовать для закрепления материала, контроля освоения и углубления. Следует учесть, что ряд задач отнесены к нескольким занятиям (поскольку допускают различные способы решения), а некоторые задачи не вошли в эти списки.
Раздел приложений содержат ряд исторических сведений, а также некоторые вопросы повышенной трудности, связанные с геометрическими задачами на построение. В конце книги приведен список литературы, на которую делаются ссылки в тексте. Большую часть этих изданий и публикаций можно использовать в качестве дополнительной литературы.
Поскольку, на наш взгляд, в последние годы культура решения задач на построения в рамках освоения школьного курса геометрии в значительной степени утеряна, то изначально имеет смысл договориться о терминологии.
Что такое геометрическая задача на построение и что значит ее решить?
Задача на построение это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой (односторонней и без делений).
Решение таких задач состоит не в том, чтобы проделать «руками» соответствующие построения, а в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть, описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений.
В этом смысле решение задач на построение хорошо иллюстрирует один из основных принципов решения любых математических задач: решить задачу это значит свести ее к какой-либо задаче, уже решенной ранее!
Какие построения циркулем и линейкой считать стандартными?
Это вопрос предварительной договоренности. На наш взгляд, к стандартным построениям можно отнести следующие:
1) построение прямой, проходящей через две заданные точки;
2) построение окружности с данным центром и данным радиусом;
3) построение отрезка, равного данному;
4) построение угла, равного данному;
5) построение середины отрезка (серединного перпендикуляра к отрезку);
6) построение биссектрисы угла;
7) построение перпендикуляра к прямой, проходящего через заданную точку (два случая).
На основе стандартных построений легко осуществляется построение треугольников по трем основным элементам: 1) двум сторонам и углу; 2) стороне и двум углам; 3) трем сторонам. При этом очень важно донести до сознания учащихся, что все линейные элементы в условиях задач заданы в виде отрезков (а не их длин), а все угловые – в виде углов (а не чисел, выражающих их величину)!
К тем же стандартным построениям сводятся также построения равнобедренных и прямоугольных треугольников по их основным элементам, а также построение прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку. Так как эти задачи (наряду со стандартными построениями) рассматриваются во всех основных школьных учебниках (см., например, [2] и [11]), то их решения мы разбирать не будем.
Таким образом, можно провести некоторую аналогию между решением задач на построение и строительством домов: стандартные построения – это «кирпичи», задачи на построение различных видов треугольников по их основным элементам – «блоки».
Теперь, пользуясь этими «блоками», мы сможем решить большинство задач на построение треугольников, в которых могут быть заданы не только основные, но и вспомогательные элементы. Задачи, которые мы научимся решать, станут, образно говоря, «панелями», которые можно будет затем в готовом виде использовать для решения более сложных задач, в которых строятся не только треугольники, и т. д.
Отметим, что для того, чтобы научится решать задачи на построение (впрочем, как и другие геометрические задачи) очень важно осознавать, что решать их надо с конца, то есть не пытаться строить все, что умеешь, наугад, а представить себе, что искомый объект уже построен и, исходя из этого, восстановить цепочку возможных построений.
В заключение заметим, что эффективность освоения методов решения задач на построение, предлагаемых нами, во многом зависит от учета особенностей реального школьного курса геометрии, изучаемого школьниками, и от учебника, который при этом используется в качестве базового. Подробное изучение методов решения задач на построение позволяет заодно повторить практически все разделы школьной планиметрии, а во многих случаях и существенно углубить свои знания.
В большинстве случаев занятия 1 и 2 целесообразно проводить, на наш взгляд, не ранее второго полугодия 7 класса. В материалах этих занятий сознательно делается акцент на поиски алгоритмов построений, а вопросы исследования (количество решений задачи) остаются за их рамками. Занятия 3 и 4 имеет смысл проводить не ранее первого полугодия 8 класса. В рамках этих занятий учащимся напоминаются все этапы решения задачи на построение, но основной акцент по-прежнему имеет смысл делать на поиски алгоритмов решений. Занятия 5 и 6 проводятся после изучения школьниками в курсе геометрии темы «Движения», то есть не ранее конца второго полугодия 8 класса (а может быть, и позже). Занятия 7 – 9 адресованы, по всей видимости, девятиклассникам или учащимся старшей школы.
Естественно, что преподаватель математического кружка, может по своему усмотрению использовать только часть предложенных занятий, поменять порядок их изучения и т. д.
Авторы благодарны А.В. Шаповалову за подробные обсуждения, способствовавшие существенному улучшению текста, Д.В. Прокопенко и Д.Э. Шнолю – за внимательное прочтение текста и ценные замечания, и Е.С. Горской – за выполнение чертежей.
[1] А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия для 8 – 9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1991.
[2] И.И. Александров. Сборник геометрических задач на построение. – М.: УРСС, 2004.
[3] Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. Геометрия. Учебник для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995.
[4] Ю. Билецкий, Г. Филипповский. Чертежи на песке. В мире геометрии Архимеда. – К.: Факт, 2000.
[5] В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
[6] Р.К. Гордин. Геометрия. Планиметрия. Задачник для 7 – 9 классов. – М.: МЦНМО, 2012.
[7] А. Кириллов. О правильных многоугольниках, функции Эйлера и числах Ферма. – Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», №6, 1994.
[8] Г.С. Коксетер, С.Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978.
[9] Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? – М.: МЦНМО, 2010.
[10] И.А. Кушнир. Возвращение утраченной геометрии. – К.: Факт, 2000.
[11] Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ г. Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под. ред. А.А. Заславского, Д.А. Пермякова, А.Б. Скопенкова, М.Б. Скопенкова и А.В. Шаповалова. – М.: МЦНМО, 2009.
[12] Ю. Михеев. Одной линейкой. – Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», №10, 1980.
[13] А.В. Погорелов. Геометрия 7 – 11. Учебник для 7 – 11 классов. – М.: Просвещение, 1995.
[14] Я.П. Понарин. Элементарная геометрия. Т. 1. – М.: МЦНМО, 2004.
[15] В.В. Прасолов. Геометрические задачи древнего мира. – М.: «Фазис», 1997.
[16] В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии: в 2 ч. – М.: МЦНМО, 2007.
[17] В.Ю. Протасов. Максимумы и минимумы в геометрии. – М.: МЦНМО, 2012.
[18] Г.Б. Филипповский. Авторская школьная геометрия. Часть 1. – К.: Библиотека Русановского лицея (ротапринт).
[19] И.Ф. Шарыгин. Геометрия. 7 – 9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 2000.
[20] И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами. – М.: «Астрель», 2001.
[21] Г. Штейнгауз. Математический калейдоскоп. – Библиотечка «Кванта», вып. 8,1981.
[22] Энциклопедический словарь юного математика. /Сост. А.П. Савин/ – М.: «Педагогика», 1985.
Список веб-ресурсов
1. www.problems.ru – база задач по математике.
2. www.geometry.ru – всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина.
3. olympiads.mccme.ru/ustn – устные геометрические олимпиады.