Челны 7кл

Математический кружок

Участвовали ученики 7 класса. Занятия проходили онлайн. Формы занятий: решение задач, их обсуждение.

1	Преодолеть инерцию мышления	14 сентября 2013 г.	Листок		Когда вводишь ограничения при поиске примера, помни о них. Если пример находится не сразу, надо будет расширять круг поиска, постепенно отказываясь от ограничений. Трудно, однако, отказаться от того, чего не замечаешь. Обходишь, например, все больше магазинов, а вещь не попадается. А ее, оказывается, вообще в магазинах не продают… Это и есть инерция мышления: создание для себя невидимых барьеров.
2	Поиск перебором	30 сентября	Предвар. листок	Окончат. листок	Идеи найдены и применены, круг поиска очерчен, но варианты все ещё остаются. Перебирать надо эффективно, то есть не пропустить случай, но и не утонуть в случаях. Перебор зависит от цели. В задачах с вопросами «Как можно…» или «Может ли …» и «Существует ли…» (с ответом «Да») достаточно найти одно решение. Тогда перебор надо начинать с удобных случаев.
3	Редукция и разминка	7 октября	Окончат. листок		Метод получения простой конструкции может стать вспомогательным средством («строительными лесами»). Конструкция из упрощенной задачи послужит подсказкой к конструкции сложной задачи. Грубо говоря, прежде чем строить большой дом, полезно размяться: потренироваться на строительстве сараев и хижин.
4	Узкие места	14 октября	Окончат. листок		В задачах, где строят и исследуют конструкции, зацепкой к решению часто служит та часть конструкции, где свобода выбора – наименьшая. Такие места служат препятствиями к построению конструкции, или кажутся таковыми. Именно их мы и назовем узкими местами.
5	Ослабление условий	21 октября	Предвар. листок	Окончат. листок	Сложную конструкцию можно построить, улучшив заготовку. Для этого метод ослабления условий рекомендует сначала временно отказаться от части условий задачи и построить конструкцию, где выполнены только оставшиеся условия.
6	Пример +оценка. Счёт узких мест.	28 октября	Окончат. листок		В задачах на пример+оценку пример и оценка – обычно две отдельные части решения; смешивать их не стоит. В комбинаторных задачах оценка часто получают, выделив подсчитав узкие места. Эти места помогают и пример построить. В задачах на оценку+алгоритм часто строят пример именно при доказательстве оценки.
7	Инвариант	2 ноября	Окончат. листок		Инвариант – это что-то (число, свойство), что не изменяется при разрешенных действиях (например, при разрезании не меняется сумма площадей частей фигуры). Типичные инварианты: четность, остаток по какому-то модулю, произведение или сумма всех чисел или остатков и т.п. Инварианты дружат с подсчетом двумя способами. Инвариант можно применять для подсчетов и оценок.
8	Увидеть двудольный граф	9 декабря	Окончат. листок		Двудольный граф даёт чередование цветов, и гарантирует равенство цветов на замкнутом маршруте и отличие не более чем на 1 на незамкнутом. Часто удается раскрасить явно, выделив два свойства (например, чётность).
9	Опять увидеть граф: циклы и цепочки	16 декабря	Окончат. листок	Занятие вдвое короче обычного	«Разделяй и властвуй», то есть разбей на удобные части, и разберись с каждой частью по отдельности. Граф, у которого степень каждой вершины не более 2, распадается на циклы и цепочки.
10	Увидеть граф-3: счёт рёбер, вершин и компонент связности	23 декабря	Окончат. листок		В графе без циклов есть равенство Р=В–С (где Р – рёбра, В – вершины, С – компонеты связности). В произвольном графе это превращается в неравенство Р≥В–С. Увидев подходящий граф, можно доказать или использовать соответствующие равенства и неравенства.
11	Уравнение за кадром	28 декабря	Окончат. листок		В нестандартных задачах часто важнее правильно составить уравнение, чем его решить. Методы решения известны и стандартны, а правильно составить (и применить решение) можно только по настоящему разобравшись в задаче. Основной приём: принять что-то (например, то, что нужно узнать) за неизвестное, выразить через него что-то двумя способами и приравнять эти два выражения. При составлении выражений применяются все те же приёмы, что и при подсчетах.
12	Полуинвариант-1	14 января 2014 г.	Окончат. листок		Пусть в каком-то процессе позиции последовательно сменяются. Полуинвариант – это связанное с позицией число, которое при разрешенных действиях все время растет или все время убывает (возможно, нестрого). Если есть строгий полуинвариант, то позиция не может повториться. В большинстве игр полуинвариант гарантирует, что игра закончится. Типичные полуинварианты: сумма, произведение, модуль разности, сумма модулей, сумма квадратов.
13	Полуинвариант-2	20 января 2014 г.	Окончат. листок		Тех чисел, что есть в условии, может быть недостаточно для вычисления полуинварианта. Вводите дополнительные: нумерация, координаты, подсчёт пар и других комбинаций. Чтобы полуинвариант гарантировал остановку, надо либо обеспечить границу и шаг не меньше фиксированного, либо конечное число значений полуинварианта.
14	Цена игры	29 января 2014 г.	Окончат. листок		Важный пример двусторонних задач: игры на счёт. Для конечных игр результат выражается числом (ценой игры). Обычно первый игрок старается сделать это число больше, а второй – меньше. Приходится приводить две стратегии: одна гарантирует первому игроку результат не меньше числа, другая второму – не больше числа. Стратегии часто похожи, но могут быть и совершенно различными.
15	Изоморфизм	19 февраля 2014 г.	Окончат. листок		Задача, переведенная на другой язык, может оказаться гораздо легче. Не забудьте только перевести решение обратно! Переводят обычно на знакомый язык, где начинает работать интуиция. Перевод помогает обойти препятствие: так, туристы, идущие вдоль берега и натолкнувшиеся на скалы, могут обойти их, временно переправившись на другой берег. Переправа или перевод примеры изоморфизма: сохраняются все существенные свойства объекта, а несущественные (хотя внешне очень заметные) изменяются.
16	Подмена объекта	24 февраля 2014 г.	Окончат. листок		Объекты или величины, о которых говорится в условии задачи, могут оказаться не самыми удобными для решения. Бывает выгодно их заменить на другие, похожие, лучше отражающие суть задачи. Примеры таких замен мы уже видели в занятии про изоморфизм.
17	Дискретная непрерывность	4 марта 2014 г.	Окончат. листок		Если в некотором процессе какая-то величина на каждом шаге меняется не более, чем на 1, и принимает только целые значения, то она принимает и все промежуточные значения между первым и последним. Это можно использовать для неконструктивного доказательства существования объекта или события. Когда процесса нет, его можно организовать.
18	Жадный алгоритм	10 марта 2014 г.	Окончат. листок		Алгоритм – это способ достижения цели через жестко определенную последовательность шагов. Типичный пример: стратегия в игре. Если цель – максимум какой-то величины, то ее часто достигают с помощью «жадного алгоритма», то есть добиваясь максимально возможного приращения на каждом шаге. А если цель – максимум числа шагов на фиксированном расстоянии, то жадный алгоритм советует выбирать самые короткие шаги.
19	Целочисленные неравенства	10 марта 2014 г.	Окончат. листок		По сравнению с обычными, целочисленные неравенства обладают дополнительными свойствами: Пусть a и b – целые. Если a < b, то a ≤ b – 1 и b ≤ a + 1. Пусть m и n – натуральные. Если m делит n, то m ≤ n. Если число лежит строго между соседними точными квадратами, то оно – не точный квадрат. То же верно и для кубов.
20	Посредник	22 апреля 2014 г.	Окончат. листок		Чтобы доказать неравенство U > V , можно подбрать лежащего между ними посредника, с которым каждую из величин удобно сравнивать: скажем, такое W, что U > W > V или U = W > V.
21	Относительное и круговое движение	29 апреля 2014 г.	Предвар. листок	Окончат. листок	Часто выгодно один из объектов, движущийся с постоянной скоростью, объявить неподвижным, а скорости других рассматривать относительно него. Это работает при движении по прямой и по окружности. А вот движение по отрезку туда сюда выгодно бывает заменить круговым движением.
22	Индуктивное построение	13 мая 2014 г.	Окончат. листок		Многоэтажный дом строят не сразу, а последовательно: этаж за этажом. Следующий этаж опирается на предыдущий. Так и сложную конструкцию можно получить из простой базовой конструкции, сделав нужное число однотипных добавок.
23	Разрезания и неравенства в треугольнике	20 мая 2014 г.	Предвар. листок	Окончат. листок	В задачах на разрезание не по клетком полезно использовать геометрические неравенства: неравенство треугольника; против большей стороны лежит больший угол; неравенство третьих сторон.
24	По кругу	27 мая 2014 г.	Предвар. листок	Окончат. листок	При расположении объектов помогают несколько приемов, связанных с четностью, чередованием, дискретной непрерывностью, принципом крайнего и зацикливанием.
25	Неравенство помогает уравнению	3 июня 2014 г.	Предвар. листок	Окончат. листок	При решении задач, сводящихся к уравнениям (особенно целочисленным) часто помогает предварительное исследование с помощью неравенств.