Автор:
Шаповалов А. В.Издательство: МЦНМО
ISBN: 978-5-4439-1861-7
Год издания: 2024
Тираж: 1500 экз.
Количество страниц: 200
Размер: 143x200х6
Автор:
Шаповалов А. В. Тринадцатая книжка серии «Школьные математические кружки»
посвящена методам придумывания, построения и исследования математических конструкций. Она предназначена в основном для занятий со школьниками 6–8 классов, но может быть использована и для старших школьников. Продолжая книжку Как построить пример, здесь рассмотрены более мощные приёмы работы с конструкциями, показывающие в том числе, как придумать и сконструировать доказательство. В книжку вошли разработки семи занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. Для удобства использования заключительная часть книжки, как всегда, сделана в виде раздаточных материалов.
Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков.
Предыдущие издания книжки выходили в 2015 и 2018 гг. В настоящем издании раздел «Дополнительные задачи» расширен 30 авторскими задачами олимпиад последних лет.
Данная книга
содержит шесть тематических занятий математического кружка 7-8
классов. Она впрямую продолжает книгу Как построить пример, но выводит школьников на новый уровень.
В материалы каждого занятия входят: вступительный текст
учителя, подробный разбор нескольких задач по теме занятия
(включающий решения и комментарии), задачи для самостоятельного
решения, решения этих задач с комментариями.
Кроме того, есть раздел «Дополнительные задачи», где даны свыше 100 задач разной сложности на построение примеров (или невозможность построения). Задачи разбиты на 4 списка по сложности: наиболее легкие в списке A, наиболее сложные - в списке D. Для удобства в конце каждого занятия приведен список задач из дополнительного раздела, а также из других занятий, которые могут быть решены с использованием методов текущего занятия. Так как большинство задач может быть решено несколькими методами, то одна и та же задача может фигурировать в нескольких списках.
В конце книги приведен раздаточный материал.
По сути, весь текст брошюры рассчитан скорее на учителя, чем на ученика. Нормальный восьмиклассник предпочитает решать и обсуждать решения, и уж вряд ли станет читать пространные рассуждения на тему «Как можно найти решение» (он скажет: а я решал по-другому). Задача учителя: включить в обсуждение то полезное, что он найдет в этих текстах.
Особенность брошюры: решения задач и пути к решению тщательно разделены. Этим автор хотел подчеркнуть, что в задачах на конструкцию готовое решение (то, что школьник в идеале должен написать) и путь к решению (пояснение, как такое придумать) обычно имеют мало общего. Соответственно, и школьников стоит научить их разделять. Такое разделение полезно, впрочем, и для остальных математических задач.
Автор благодарен К.А. Кнопу, за содержательные обсуждения и предложенные задачи, позволившие существенно улучшить данную книгу.
Цель занятия – приучить отличать кажущиеся противоречия от действительных. При этом вырабатывается навык внимательного прочтения задачи и анализа её условий, школьники рассматривают неожиданные примеры, что расширяет их кругозор.
Первые задачи лучше решать путём совместного обсуждения. Попросите проголосовать: можно или нельзя. Тех, кто за «нельзя», попросите обосновать свою позицию. Обычно говорят что-нибудь вроде «чем больше периметр, тем больше площадь – посмотрите хоть на квадрат». Как только будут упомянуты две мнимо согласованные величины (скажем, периметр и площадь), подтолкните обсуждение к вопросу «для каких примеров они согласованы», затем «может ли одна меняться, а другая оставаться неизменной».
В обсуждениях будут использоваться слова «много», «мало», «сильно». Помогите понять учащимся, что без количественных критериев их использовать ненадёжно.
В нескольких задачах используется парадокс «игрока и казино»: как могут оба быть довольны, если оба хотят выиграть. Ответ: для казино важно выиграть в сумме, для игрока – выигрывать чаще, и это обеспечить легко. Основной приём казино: несколько раз проиграть понемногу, и один раз выиграть по-крупному. Обсудите этот парадокс при решении одной из задач, подчеркните приём.
Цель занятия – научить школьников применять перебор правильно. Во-первых, школьник должен научиться определять, где перебор нужен, а где нет (важно и то, и другое: избыточный перебор одной половины учащихся заметно досаждает учителю; недостаточный или не проведены перебор другой половины учащихся тормозит их развитие). Во-вторых – надо учить перебирать эффективно и излагать перебор компактно и понятно.
Занятие лучше вести как обсуждение представленных школьниками решений. Прежде всего, научите их понимать, где в решении надо излагать перебор, а где – не надо. Если достаточно одного примера (скажем, при вопросе «Можно ли»), излагаем только пример без перебора. При задании «Найдите все…» или ответе «Нет» на вопрос «Можно ли» придется излагать полный перебор. Попросите школьника выписать краткий ответ на доске, а затем спросите класс – нужно излагать перебор или нет?
Перебор, который излагается, должен быть полным. Попросите начать изложение со списка всех случаев. Подскажите компактные обозначения: при длинном переборе без них не обойтись. Стоит обсудить, почему в списке представлены все возможные случаи. Если есть пропущенные случаи, надо об этом сказать и попросить школьников обнаружить их самостоятельно. Важно подчеркнуть, что надо включать в список даже те случаи, которые не дают вклада в ответ: полное решение должно включать в себя их разбор и отсев.
Важно отметить те свойства, которые помогли сократить перебор. Полезно спросить учеников, нет ли у них решений, где перебор существенно короче. Полезно показать и своё короткое решение, обратив внимание на способы сокращения перебора. Важный приём: перебор не отдельных случаев, а групп (схем, картинок со взаимным расположением и т.п.).
О переборе, который не включается в решение, полезно поговорить после того, как решение (пример) изложено и одобрено. Его надо предварить словами: «Вот Вася рассказал нам свое решение, оно верно, на олимпиаде больше ничего писать не надо. Но нам с вами интересно узнать, каким путём Вася нашёл это решение.» Здесь уже важна не полнота, а эффективность, умение рассматривать случаи, ведущие к примеру, в первую очередь. Обращайте внимание на полезные нестрогие соображения, позволяющие быстрее добраться до примера.
Помешать решить задачу может не только отсутствие знаний и навыков. Часто мешают и невидимые барьеры, созданные самими решающими. Цель занятия – научить осознавать такие барьеры и, преодолев их, таки решить задачу.
Форма занятия аналогична занятию 1: первые задачи обсуждаются совместно. Следующие задачи ученики решают самостоятельно, а учитель выслушивает решения индивидуально. Если на какой-то задаче многие застряли, её тоже стоит обсудить совместно.
При обсуждении прежде всего заставьте учеников поверить, что пример существует. Далее, как и на занятии 1, помогает анализ. При поиске какого-нибудь примера начинают перебор с «удобных мест». С таких мест надо начать и тут, и убедиться, что в них решения нет. Вот теперь показывайте, что делать дальше: надо расширять список вариантов, по возможности до полного. Инерция мышления проявляется в том, что ключевой вариант пропускают либо не подозревают, что вариантов более одного. Покажите, как избежать таких пропусков. Объясните «метод Шерлока Холмса»: надо отбросить все невозможные случаи, тогда последний вариант окажется возможным, каким бы невероятным он ни казался.
Учим сводить сложную задачу к более лёгкой вспомогательной задаче. Такое сведeние и называется редукцией. Если сложную задачу решить сразу не удаётся, можно сначала размяться на задаче попроще, а потом с накопленным опытом вернуться к сложной. Цель занятия: научить правильно упрощать задачу. Для этого сначала учим видеть связь между упрощённой и сложной задачами, а затем – самостоятельно формулировать упрощённую задачу.
В первых задачах более легкие пункты служат разминкой к более сложным. Тут лучше дать учащимся порешать самим, а при обсуждении решений обсудить связи между пунктами.
В задачах с целочисленным параметром универсальный совет: начать со случаев с малыми значениями параметра. При этом конструкция обычно строится и исследуется «руками» (например, недлинным перебором).
Разминаться можно и на удобных значениях параметра. Пусть, например, надо доказать некоторый факт для произвольного треугольника. Посоветуйте для начала рассмотреть случаи, когда треугольник прямоугольный, равнобедренный или с углом в 60 градусов.