А.В.Шаповалов => Занятия и кружки
при гимназии
№26 г. Набережные Челны
Участвовали ученики 9 класса Любови Владимировны Баевой: Дима Белов, Никита Александров, Максим Мордяшов, Илья Соловьев и Кирилл Черкасов. Занятия проходили онлайн, они собирались двумя группами в двух квартирах. Формы занятий: решение задач, их обсуждение.
|
Задачи для знакомства |
10 задач для определения уровня учеников. |
|
|
Как такое может быть? |
При переборе стараемся учесть все логические возможности. Доказательство свойств сокращает число таких возможностей. Поэтому чаще задавайте себе вопрос: как такое может быть? |
|
|
Постепенное конструирование |
Дом строят не сразу: сначала фундамент, потом стены, наконец – крышу. Так и сложные математические примеры, контрпримеры и алгоритмы часто удобнее строить по частям. Порядок действий может быть естественно определен условиями. |
|
|
Периодичность и непериодичность. Зацикливание. |
Периодические последовательности – первый шаг от конечных последовательностей к бесконечным. |
|
|
Конечное и бесконечное |
Различайте «сколь угодно большое» и «бесконечное». Дирихле на бесконечности: в бесконечной куче из конечного число частей хотя бы одна часть бесконечна. |
|
|
Увидеть граф |
В задачах на графы важно научиться строить подходящий граф из объектов любой природы. Далее часто хватает применения простейших фактов о графах. Важный пример графа: вершины – позиции, рёбра – ходы. Если граф окажется двудольным, то применима идея чередования. |
|
|
Увидеть граф-2. Чередование, счет, перегородки |
Ребра графа границ - это границы клеток и областей. |
|
|
Жадный алгоритм |
Простейший способ достижения максимума/минимуму - достигать как можно больше/меньше на каждом шаге. |
|
|
Испытания и оценки |
Чаще всего перед нами ситуация одного неизвестного варианта из некоторого множества (пространства) возможных элементарных вариантов. Полезно выписать все возможные варианты и делать такие испытания, чтобы количество подозрительных вариантов в наихудшем случае было как можно меньше. |
|
|
Естественный алгоритм |
Естественный алгоритм легко придумать, но трудно в него поверить и проверить, что он достигает цели |
|
|
Последовательности и рекурренты |
От явной формулы общего члена к рекуррентной и обратно. Когда бесконечной последовательности нет, а конечная есть, и наоборот? |
|
|
Бесконечное и минимальный контрпример |
Лестница надежна, если надежны все ее ступеньки. При проверке легче искать самую низкую из ненадежных ступенек. Точнее говоря: когда бесконечный спуск невозможен, то либо есть минимальный контрпример, либо контрпримера нет вообще. |
|
|
Перевод на другой язык (изоморфизм) |
Препятствие можно обойти, переправившись на другой берег реки, а потом обратно. Так же и трудная задача может стать легче, если переформулировать её на другом языке (например, в координатах вместо геометрического). Математически корректная и обратимая переформулировка и называется изоморфизмом. |
|
|
Комбинаторный метод в теории чисел |
Сущность метода: чтобы доказать, что m кратно n, достаточно изобрести некоторые объекты и показать, что их ровно m/n + k, где k – целое. |
|
|
Подмена объекта |
Замените трудный для исследования объект на равноценный с точки зрения цели, но более знакомый, более удобный. Например, дополнительное построение может сделать его частью чего-то хорошо знакомого. |
|
|
Непрерывность обычная и дискретная |
Из непрерывности доказывают существование или невозможность объекта/конструкции, не предъявляя их явно. Если величина меняется непрерывно от a до b, она принимает все промежуточные значения. Нужный эффект достигается при конкретном значении. |
|
|
Непрерывная комбинаторика: точки и сыр |
Бывают комбинации из конечного числа объектов, но сами описываются непрерывным параметром. Тогда хорошей моделью служат наборы точек на прямой и окружности. Наборы целиком можно переворачивать, сдвигать, сжимать или растягивать. Основным инструментом служат неравенства, что помогает подготовиться к математическому анализу. |
|
|
Средние в геометрии: поиск формул |
Средние (арифметическое, геометрическое, гармоническое и др.) обладают общими свойствами. Если геометрическая величина обладает такими свойствами, она часто тоже оказывается одним из средних. Точную формулу можно угадать еще до явного вычисления. |
|
|
Принцип Дирихле в геометрии. Всюду плотные множества. |
Дирихле хорошо работает и с непрерывными величинами: длинами, площадями, объемами. Для применения длины и площади «размножают» переносами. |
|
|
Непрерывная комбинаторика: комбинации и оценки |
Работаем с комбинациями из конечного числа объектов нецелого веса. Поезно упорядочить их по весу. Предположив противное, получим утверждение для всех наборов. Умело выбирая нужные наборы, придем к противоречию. |
|
|
Разрезания: счет узких мест |
При разрезаниях фигур на части помогает счет углов, вершин, сторон, длин и площадей. Ищите узкие места – они подскажут, что именно надо считать. |
|
|
Бесконечные конструкции |
Если надо использовать все элементы счетного множества, позаботьтесь, чтобы минимальный до сих пор не использованный номер был рано или поздно использован. |
|
|
Неоднозначные данные |
Чтобы доказать, что информации недостаточно для получения однозначного ответа, можно построить два примера, которые удовлетворяют всем условиям, но дают разные ответы. |
|
|
Теорема о пересечении ломаных |
Теорема. Если внутри квадрата ABCD проходят две ломаные: одна с концами A и C, другая с концами B и D, то эти ломаные пересекаются. |
|
|
Монотонность |
Монотонная функция принимает каждое значение не более одного раза. Найди подходящий ответ и докажи (например, с помощью монотонности), что он – единственный. |
|
|
Линейные системы. Рациональный трюк. |
Если линейная система с целыми коэффициентами имеет какое-то решение, то она имеет решение в рациональных числах. |
|
|
Комбинаторная геометрия |
Покрытия. Вспомогательное разбиение на клетки. Оценки: периметр, площадь. |