А.В.Шаповалов => Занятия и кружки=> Школа 1543
Участвовали ученики класса Е.Чернышевой. Занятия проходили онлайн. Формы занятий: решение задач, их обсуждение.
|
Знакомство |
Задачи для первого знакомства. Проверяют сообразительность и умение пользоваться ранее полученными знаниями. |
|
|
Как такое может быть? |
Если в задаче с вопросом "Может ли?" вы подозреваете ответ "Да", то спросите себя "Как такое может быть?" Так вы повышаете шанс прийти, последовательно отбрасывая невозможные случаи, к тому самому невероятному, но единственно возможному случаю. |
|
|
Разрезания: счет узких мест |
При разрезаниях фигур на части помогает счет углов, вершин, сторон, длин и площадей. Ищите узкие места – они подскажут, что именно надо считать. |
|
|
Постепенное конструирование |
Дом строят не сразу: сперва фундамент, потом стены, наконец – крышу. Так и сложные математические примеры, контрпримеры и алгоритмы часто удобнее строить по частям. Порядок действий может быть естественно определен условиями. |
|
|
Периодичность и непериодичность. Зацикливание. |
Периодические последовательности – первый шаг от конечных последовательностей к бесконечным. Доказывать периодичность помогает принцип зацикливания: если число состояний конечно, и каждое зависит от фиксированного числа предшествующих, то последвательность состояний зациклится. А непериодичность удобно доказывать «от противного»: ведь противное в этом случае – хорошее! |
|
|
Конечное и бесконечное |
Бесконечность потенциальная и актуальная. Принцип Дирихле на бесконечности. Бесконечность тоже удобно доказывать «от противного»: ведь противное в этом случае – конечное, а значит – хорошее! |
|
|
Лексикографический порядок |
Минимальный элемент есть не только в любом подмножестве натуральных чисел, но и в множествах, "занумерованных" словами. Слова сравниваются в словарном порядке. |
|
|
Подмена объекта |
Объекты или величины, о которых говорится в условии задачи, могут оказаться не самыми удобными для решения. Бывает выгодно их заменить на другие, похожие, лучше отражающие суть задачи. Примеры таких замен можно также найти в занятии про изоморфизм. |
|
|
Непрерывность обычная и дискретная |
Из непрерывности чаще всего доказывают существование или невозможность некого объекта или конструкции, не предъявляя его явно. Если в процессе величина меняется непрерывно, она принимает все промежуточные значения. Нужный эффект достигается при некотором конкретном значении величины. |
|
|
Непрерывная комбинаторика: точки и сыр |
В некоторых задачах возникают комбинации из конечного числа объектов, но сами объекты выбираются из бесконечного набора, заданного непрерывным параметром или параметрами. Хорошей моделью в таких задачах служат наборы точек на прямой и окружности. |
|
|
Непрерывная комбинаторика: процессы и игры |
Отношения между объектами и наборами непрерывных объектов задаются в первую очередь неравенствами. Работа с неравенствами тут главное средство, чаще всего – с неравенством треугольника. |
|
|
Многочлены и корни |
Связь числа корней и степени многочлена. Существование корней из непрерывности. |
|
|
Многочлены: целые значения и коэффициенты |
Ключевой факт: если у многочлена P(x) все коэффициенты целые, то P(m)–P(n) делится на m–n. |
|
|
Неприводимые многочлены. Многочлены деления круга |
Основная теорема арифметики для многочленов. Критерий Эйзенштейна неприводимости многочленов с целыми коэффициентами. |
|
|
Симметрические многочлены |
Теорема Виета и симметрические выражения от нескольких переменных. Работа с сопряженными иррациональностями. |
|
|
Комбинаторный метод в теории чисел |
Чтобы доказать, что число элементов множества кратно k, не обязательно знать его явно. Можно вместо этого разбить множество на k-элементные подмножества. |
|
|
Линейные системы. Рациональный трюк. |
Системы линейных уравнений решаются методом последовательного исключения неизвестных. У системы может быть 0, 1 или бесконечно много решений. Если система с целыми коэффициентами имеет решение, то она имеет решение в рациональных числах. Из этого, например, следует, что если прямоугольник можно разрезать на квадраты, то его можно разрезать на равные квадраты. |