Как придумывать задачи

Хорошие задачи редко возникают сразу. Обычно процесс придумывания многоходовый: сюжет – вопрос – нестандартный способ решения – результат – заготовка – готовая задача.

Преподавание математики как достоверной науки

(Конспект выступления на семинаре учителей, май 2013 г.)
doc    pdf

Математика во многом наука абстрактная. Но чрезмерная абстрактность подтачивает мотивацию учащихся. Возникает проблема достоверности математических знаний. Решив её, мы не только повысим мотивацию, но и создадим возможность широкого применения математики.

Математические конструкции и их роль в преподавании математики

Для большинства учащихся доказательства выглядят не слишком убедительными, если их результаты нельзя «пощупать руками». А если еще требования «докажите» всегда идут только от учителя, они будут восприниматься лишь как навязанный «довесок», особенно для учащихся с конструктивным складом ума.

Блеск и нищета аксиоматического метода в преподавании геометрии

Идея кажется захватывающей: бесконечное разнообразие задач и фактов сводится к нескольким простым определениям и пяти аксиомам. А далее надо только выбрать правильную последовательность теорем. Кладя кирпичик за кирпичиком, каждого ученика можно будет поднять до вершин - ну хотя бы до прямой Эйлера и окружности 9 точек. Увы, реальность школьных уроков не радует нас столь благостными картинками.

Почему школьники плохо понимают индукцию

Формальное доказательство по индукции редко убеждает инженеров. Они не видят в нем целой цепочки, а лишь отдельное звено. Кроме того, индукция позволяет доказать, не отвечая на вопрос "почему". В простых случаях индукцию можно и нужно заменять на другие рассуждения. Для младших важнее показать индуктивное построение. А в сложных случаях надо показать связь индукции с другими методами: редукцией, рекурсией и бесконечным спуском.

Демонстрировать единство математики

Интервью в 25-й учебной смене Кировской летней многопредметной школы (ЛМШ) под Вишкилем, июль 2009 г.

Давай не то, что можно дать, а то, чего нельзя не дать

Представление преподавателя летней школы "Математика у моря", которая состоялась в июне 2014 г. в Болгарии

Турнир им. Савина как соревнование "для всех"

Выступление на конференции в честь 80-летия Московской математической олимпиады, 9 апреля 2015 г.

Уравнение за кадром, или Учим строить математическую модель.
doc    pdf

Надо ранжировать знания и навыки по степени их полезности и применимости — не только в математике или на других уроках, но и за пределами школы. То, что редко применяется — быстро забывается. Математика потому и эффективна, что она часть генетически заложенной способности человека к познанию. Вообще, понять – это построить в голове модель. Львиная доля математических моделей описывается уравнениями. Однако 90% учебного времени уходит на то, чтобы научить уравнения решать, ещё 9% – чтобы научить их составлять для узкого списка специально подобранных задач. Тот 1% случаев, когда уравнение естественно возникает и эффективно применяется, явно недостаточен для закрепления в памяти учеников.

Проблема перебора случаев в классической геометрии
doc    pdf

При решении задач комбинаторной геометрии перебор случаев - норма, а вот в классической геометрии это считается "неприличным". О случаях умалчивают или разбирают только "главный" случай, без особых оснований объявляя остальные "аналогичными". Бывает, это приводит к неполным ответам и даже к неверным задачам. Чтобы не разрушить мостик между классической геометрией и остальной математикой, надо учить перечислять все случаи, понимать, что в разных контекстах значит "аналогично" и знать, какие геометрические понятия помогут избежать перебора случаев (векторы и др.).

Математика эксперимента с подвижными чертежами
Тезисы

Набирает популярность изучение геометрии с помощью программ подвижных чертежей (Геогебра, Живая Математика, Математический Конструктор и др.). Кроме сильно увеличившейся наглядности, учителя опираются на интерес и навыки детей в работе с компьютерами. Менее очевидно, что идет опора и на естественное стремление значительной части учеников к конструктивным решениям. Но за построением и исследованием конструкций тоже стоит хорошая математика (в том числе школьная алгебра). Показав её (в форме советов "как лучше строить" и обсуждений "почему данная конструкция работает плохо"), мы укрепим веру в "достоверность" математики и свой авторитет как преподавателя.

Подготовка к изучению последовательностей
doc    pdf

С последовательностями школьники сталкиваются уже в младших классах: натуральный ряд, чётные и нечётные числа, простые числа, квадраты. Им понятны суммы и закономерности, но непонятна бесконечность. А и не надо! Научите их вычислять член прогрессии по номеру и сумму арифметической прогрессии. Следующий шаг - научиться видеть конечную последовательность как единое целое. Помогают суммы и длинные числа, где придется разобраться с последовательностью цифр.

Примеры и контрпримеры в обучении математике
Презентация: doc    pdf
Конспект выступления: doc    pdf

Преподавание математики не сводится к обучению действовать по раз и навсегда заданным алгоритмам. Путь от условия к цели (ответу, решению, знанию) приходится выстраивать самостоятельно. Примеры и контрпримеры служат вехами и помогают проверять правильность шагов. Да и убедить ученика много проще наглядным примером (частным случаем), чем безупречным, но многословным рассуждением.