На семинаре в "Сириусе" с А.Д.Блинковым, май 2017 г.
Кроме занятий для школьников и лекций для студентов приходится иногда выступать и перед коллегами, высказываться по более широким математическим вопросам, спорить. Чаще всего делаю это на семинарах учителей под руководством Александра Давидовича Блинкова. Вот тексты.
Как придумывать задачи: doc pdf(Конспект лекции для учителей, декабрь 2010 г., школа-интернат "Интеллектуал") |
Хорошие задачи редко возникают сразу. Обычно процесс придумывания многоходовый: сюжет – вопрос – нестандартный способ решения – результат – заготовка – готовая задача. |
Преподавание математики как достоверной науки(Конспект выступления на семинаре учителей, май 2013 г.) |
Математика во многом наука абстрактная. Но чрезмерная абстрактность подтачивает мотивацию учащихся. Возникает проблема достоверности математических знаний. Решив её, мы не только повысим мотивацию, но и создадим возможность широкого применения математики. |
Математические конструкции и их роль в преподавании математики(Конспект выступления на семинаре учителей, май 2013 г.)doc pdf |
Для большинства учащихся доказательства выглядят не слишком убедительными, если их результаты нельзя «пощупать руками». А если еще требования «докажите» всегда идут только от учителя, они будут восприниматься лишь как навязанный «довесок», особенно для учащихся с конструктивным складом ума. |
Блеск и нищета аксиоматического метода в преподавании геометрии(Тезисы к выступления на семинаре учителей, май 2014 г.) |
Идея кажется захватывающей: бесконечное разнообразие задач и фактов сводится к нескольким простым определениям и пяти аксиомам. А далее надо только выбрать правильную последовательность теорем. Кладя кирпичик за кирпичиком, каждого ученика можно будет поднять до вершин - ну хотя бы до прямой Эйлера и окружности 9 точек. Увы, реальность школьных уроков не радует нас столь благостными картинками. |
Почему школьники плохо понимают индукцию(Листок к выступлению на семинаре учителей, май 2014 г.) |
Формальное доказательство по индукции редко убеждает инженеров. Они не видят в нем целой цепочки, а лишь отдельное звено. Кроме того, индукция позволяет доказать, не отвечая на вопрос "почему". В простых случаях индукцию можно и нужно заменять на другие рассуждения. Для младших важнее показать индуктивное построение. А в сложных случаях надо показать связь индукции с другими методами: редукцией, рекурсией и бесконечным спуском. |
Демонстрировать единство математики |
Интервью в 25-й учебной смене Кировской летней многопредметной школы (ЛМШ) под Вишкилем, июль 2009 г. |
Давай не то, что можно дать, а то, чего нельзя не дать |
Представление преподавателя летней школы "Математика у моря", которая состоялась в июне 2014 г. в Болгарии |
Турнир им. Савина как соревнование "для всех" |
Выступление на конференции в честь 80-летия Московской математической олимпиады, 9 апреля 2015 г. |
Уравнение за кадром, или
Учим строить математическую модель.
(Текст по мотивам выступления на семинаре учителей 5 мая 2016 г, Сириус, Сочи)
|
Надо ранжировать знания и навыки по степени их полезности и применимости — не только в математике или на других уроках, но и за пределами школы. То, что редко применяется — быстро забывается. Математика потому и эффективна, что она часть генетически заложенной способности человека к познанию. Вообще, понять – это построить в голове модель. Львиная доля математических моделей описывается уравнениями. Однако 90% учебного времени уходит на то, чтобы научить уравнения решать, ещё 9% – чтобы научить их составлять для узкого списка специально подобранных задач. Тот 1% случаев, когда уравнение естественно возникает и эффективно применяется, явно недостаточен для закрепления в памяти учеников. |
Проблема перебора случаев в классической геометрии
(Материалы к лекции на семинаре учителей 3 сентября 2016 г, Сириус, Сочи)
|
При решении задач комбинаторной геометрии перебор случаев - норма, а вот в классической геометрии это считается "неприличным". О случаях умалчивают или разбирают только "главный" случай, без особых оснований объявляя остальные "аналогичными". Бывает, это приводит к неполным ответам и даже к неверным задачам. Чтобы не разрушить мостик между классической геометрией и остальной математикой, надо учить перечислять все случаи, понимать, что в разных контекстах значит "аналогично" и знать, какие геометрические понятия помогут избежать перебора случаев (векторы и др.). |
Математика эксперимента с подвижными чертежами
(Материалы к лекции на семинаре учителей 6 мая 2017 г, Сириус, Сочи)
|
Набирает популярность изучение геометрии с помощью программ подвижных чертежей (Геогебра, Живая Математика, Математический Конструктор и др.). Кроме сильно увеличившейся наглядности, учителя опираются на интерес и навыки детей в работе с компьютерами. Менее очевидно, что идет опора и на естественное стремление значительной части учеников к конструктивным решениям. Но за построением и исследованием конструкций тоже стоит хорошая математика (в том числе школьная алгебра). Показав её (в форме советов "как лучше строить" и обсуждений "почему данная конструкция работает плохо"), мы укрепим веру в "достоверность" математики и свой авторитет как преподавателя. |
Подготовка к изучению последовательностей
(Материалы к лекции на семинаре учителей 21 сентября 2017 г, Сириус, Сочи)
|
С последовательностями школьники сталкиваются уже в младших классах: натуральный ряд, чётные и нечётные числа, простые числа, квадраты. Им понятны суммы и закономерности, но непонятна бесконечность. А и не надо! Научите их вычислять член прогрессии по номеру и сумму арифметической прогрессии. Следующий шаг - научиться видеть конечную последовательность как единое целое. Помогают суммы и длинные числа, где придется разобраться с последовательностью цифр. |
Примеры и контрпримеры в обучении математике
(Материалы к выступлению на онлайн-семинаре учителей 24 октября 2024 г)
|
Преподавание математики не сводится к обучению действовать по раз и навсегда заданным алгоритмам. Путь от условия к цели (ответу, решению, знанию) приходится выстраивать самостоятельно. Примеры и контрпримеры служат вехами и помогают проверять правильность шагов. Да и убедить ученика много проще наглядным примером (частным случаем), чем безупречным, но многословным рассуждением. |