Математика эксперимента с подвижными чертежами

материалы к выступлению на семинаре учителей

6 мая 2017 г., «Сириус», Сочи



Предварительная аннотация

Набирает популярность изучение геометрии с помощью программ подвижных чертежей (Геогебра, Живая Математика, Математический Конструктор и др.). Кроме сильно увеличившейся наглядности, учителя опираются на интерес и навыки детей в работе с компьютерами. Менее очевидно, что идет опора и на естественное стремление значительной части учеников к конструктивным решениям. Но за построением и исследованием конструкций тоже стоит хорошая математика (в том числе школьная алгебра). Показав её (в форме советов "как лучше строить" и обсуждений "почему данная конструкция работает плохо"), мы укрепим веру в "достоверность математики" и свой авторитет как преподавателя.  



План

  1. Взгляд со стороны: видение редактора книги и мой опыт программиста. Цель доклада.

  2. Необходимость конструкций и любовь к ним как источник интереса. Проблема достоверности математики.

  3. Проблемы с мат.конструкциями (кружковые конструкции, построения ЦЛ) и физическими экспериментами.  

  4. Математика пошагового конструирования (нужна при составлении уравнений и в пошаговом построении доказательства):

           а) не только планируем, но и воплощаем, а также видим результат.

           б) описание чертежа - еще не план (оказалось, что...), переход к плану развивает изобретательность (в том числе геометрическую).

     5. Проверка универсальности конструкции (не разваливается при шевелении). Что можно шевелить (количество параметров - это размерность, алгебра, нужно при составлении уравнений).

     6. Эксперимент: шевеление чертежа и наблюдение. Наглядное оформление результатов эксперимента: геометрические следы и наблюдаемые величины (связь с алгеброй).

      7. Выдвижение и проверка гипотез (например, убедиться что точки лежат на одной прямой или образуют параллелограмм).

       8. а) Учет естественных ограничений эксперимента (точность не бесконечна, чертеж ограничен). б) Неустойчивые точки (почему не разрешено строить касательную одной линейкой). Повышение точности для неустойчивых точек.  

       

Задачи к пунктам плана

4б. См. 7а.

5,6. Котенок на лестнице.

7а. В окружность вписан четырехугольник ABCD с двумя равными противоположными сторонами AB=CD. Что можно сказать о сторонах BC и AD.
7б. Пусть H - точка пересечения высот треугольника АВС, K и L - середины сторон AC и BC соответственно, M и N - середины AH и BH. Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.

8а. В четырехугольнике ABCD угол A=85 гр, угол B=115 гр, AD=BC. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке M. Найдите угол MAB.

8б. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана произвольная точка M и из нее опущены перпендикуляры MK и MP на катеты этого треугольника. При каком положении точки M длина отрезка PK будет наименьшей?





Тезисы

  1. Наглядность, красивые и точные чертежи. Но достаточно ли точные? (построить точку пересеч. серперов в софизме)

  2. Не у всякого чертежа есть конструктивное описание (оказалось, что...).

  1. Своеобразие моего взгляда как мат.программиста.

  2. Последовательное конструирование (ср. с Построение циркулем и линейкой)

  3. Параметры и возможности их варьирования (размерность)

  4. Точность вычисления (параболы, графики). Неустойчивые точки (касание, экстремумы).

  5. Выдвижение гипотез и их проверка (как убедиться, что отрезки остаются параллельными или что некоторые точки лежат в вершинах квадрата).