Смена организована дф-мн Л.Самойловым. Я веду занятия в 4-х группах 8 класса: "профи" (кружковцы со стажем), "кружки" (малоопытные кружковцы), "школа" (группы 1 и 2, мат.классы из Якутии и Сарова, мало знакомые с "кружковой" математикой). Ещё в группах "профи" и "кружки" ведут занятия А.Русаков, В.Брагин, Н.Агаханов, С.Берлов, В.Шарич и др.
|
Много не мало, или Мнимые противоречия |
30 августа |
8 профи и 8 кружки |
Много и мало – понятия относительные. Если надо выигрывать чаще, а силы равны, то надо много раз выиграть по чуть-чуть, а проиграть много, но один раз. |
|
|
Поиск перебором |
31 августа |
8 профи и 8 кружки |
Идеи найдены и применены, круг поиска очерчен, но варианты все ещё остаются. Перебирать надо эффективно, то есть не пропустить случай, но и не утонуть в случаях. Перебор зависит от цели. В задачах с вопросами «Как можно…» или «Может ли …» и «Существует ли…» (с ответом «Да») достаточно найти одно решение. Тогда перебор надо начинать с удобных случаев. |
|
|
Преодолеть инерцию мышления |
2 сентября |
8 профи и 8 кружки |
Когда
вводишь ограничения при поиске примера, помни о них. Если пример
находится не сразу, надо
будет расширять круг поиска, постепенно отказываясь от
ограничений. Трудно, однако, отказаться от того, чего не
замечаешь. Обходишь, например, все больше магазинов, а вещь не
попадается. А ее, оказывается, вообще в магазинах не продают…
Это и есть инерция мышления:
создание для себя невидимых барьеров. |
|
|
Редукция и разминка |
3 сентября |
8 профи |
Метод получения простой конструкции может стать вспомогательным средством («строительными лесами»). Конструкция из упрощенной задачи послужит подсказкой к конструкции сложной задачи. Грубо говоря, прежде чем строить большой дом, полезно размяться: потренироваться на строительстве сараев и хижин. |
|
|
Узкие места |
4 сентября |
8 профи |
В задачах, где строят и исследуют конструкции, зацепкой к решению часто служит та часть конструкции, где свобода выбора – наименьшая. Такие места служат препятствиями к построению конструкции, или кажутся таковыми. Именно их мы и назовем узкими местами. Начиная от узкого места, легче прийти к противоречию или однозначно построить существенный кусок конструкции. Использовав одно узкое место, постарайтесь найти следующее. |
|
|
Ослабление условий |
5 сентября и 13 сентября |
8 профи и |
Сложную конструкцию можно построить, улучшив заготовку. Для этого метод ослабления условий рекомендует сначала временно отказаться от части условий задачи и построить конструкцию, где выполнены только оставшиеся условия. |
|
|
Перевод на другой язык (изоморфизм) |
7 сентября |
8 профи |
Задача, переведенная на другой язык, может оказаться гораздо легче. Не забудьте только перевести решение обратно! Переводят обычно на знакомый язык, где начинает работать интуиция. |
|
|
Жадный алгоритм |
8 сентября и 14 сентября |
8 профи и |
Если цель – максимум какой-то величины, то ее часто достигают с помощью «жадного алгоритма», то есть, добиваясь максимально возможного приращения на каждом шаге. |
|
|
Узкие места |
9 сентября |
8 кружки |
В задачах, где строят и исследуют конструкции, зацепкой к решению часто служит та часть конструкции, где свобода выбора – наименьшая. Такие места служат препятствиями к построению конструкции, или кажутся таковыми. Именно их мы и назовем узкими местами. Начиная от узкого места, легче прийти к противоречию или однозначно построить существенный кусок конструкции. Использовав одно узкое место, постарайтесь найти следующее. |
|
|
Внутренний математический бой |
9 сентября |
8 профи |
20 учеников из 8 профи и 4 ученика из 8 кружок были разбиты на 4 команды и бились попарно. Задачи 1, 4 и 7 не решил никто. |
|
|
Редукция и разминка |
10 сентября |
8 кружки |
Метод получения простой конструкции может стать вспомогательным средством («строительными лесами»). Конструкция из упрощенной задачи послужит подсказкой к конструкции сложной задачи. Грубо говоря, прежде чем строить большой дом, полезно размяться: потренироваться на строительстве сараев и хижин. |
|
|
Дискретная непрерывность и разрывы |
10 сентября |
8 профи |
Если какая-то целочисленная величина в процессе меняется на каждом шаге не больше чем на 1 (в ту или другую сторону), то она обязательно проходит через все промежуточные значения между начальным и конечным. Если процесса нет, организуй сам. Подбери начало и конец процесса так, чтобы они были по разные стороны от нужного значения. |
|
|
Переправы и инвариант |
12 сентября |
8 профи |
Если объекты или ситуации задачи четко делятся на две категории (два берега, два цвета), и если путь начинается на одном берегу, а заканчивается на другом, то неизбежно придется переправляться. Переправа может оказаться ключевым местом решения: надо только суметь привязать к ней вопрос задачи. |
|
|
Перевод на другой язык (изоморфизм) |
13 сентября |
8 кружки |
Задача, переведенная на другой язык, может оказаться гораздо легче. Не забудьте только перевести решение обратно! Переводят обычно на знакомый язык, где начинает работать интуиция. |
|
|
Счет узких мест |
14 сентября |
8 профи |
Сколько пассажиров может перевезти поезд – зависит от числа мест. А как быстро пассажиры смогут высадится – зависит от числа дверей. Точно так же, и в задаче можно получить искомую оценку, выделив узкие места и подсчитав их количество. |
|
|
Дискретная непрерывность и разрывы |
15 сентября |
8 кружки |
Если какая-то целочисленная величина в процессе меняется на каждом шаге не больше чем на 1 (в ту или другую сторону), то она обязательно проходит через все промежуточные значения между начальным и конечным. Если процесса нет, организуй сам. Подбери начало и конец процесса так, чтобы они были по разные стороны от нужного значения. |
|
|
Испытания и оценки |
15 сентября |
8 профи |
Пусть надо выявить один предмет из многих, и каждый вопрос делит все предметы на несколько групп, выясняя, в какую из групп попал искомый случай. Выгоднее делить на равные или примерно равные группы. В простых случаях ответы являются предметами: монетами, карточками, числами. В сложных случаях варианты ответа будут комбинациями: парами предметов, или предмет+свойство. Комбинации можно выписать на карточки и рассуждать с карточками как с предметами. |
|
|
Переправы (смена цвета) |
17 сентября |
8 кружки |
Если объекты или ситуации задачи четко делятся на две категории (два берега, два цвета), и если путь начинается на одном берегу, а заканчивается на другом, то неизбежно придется переправляться. Переправа может оказаться ключевым местом решения: надо только суметь привязать к ней вопрос задачи. |
|
|
Неоднозначные данные |
17 сентября |
8 профи |
Доказываем, что информации недостаточно для получения однозначного ответа. Для этого строим два примера, которые удовлетворяют всем условиям, но дают разные ответы. |
|
|
Испытания и оценки |
18 и 19 сентября |
8 кружки |
Пусть надо выявить один предмет из многих, и каждый вопрос делит все предметы на несколько групп, выясняя, в какую из групп попал искомый случай. Выгоднее делить на равные или примерно равные группы. В простых случаях ответы являются предметами: монетами, карточками, числами. В сложных случаях варианты ответа будут комбинациями: парами предметов, или предмет+свойство. Комбинации можно выписать на карточки и рассуждать с карточками как с предметами. |
|
|
Разрезания: счет узких мест |
19 сентября |
8 профи |
Узкое место редко состоит из одного элемента, обычно это группа из нескольких элементов конструкции, иногда отдаленных друг от друга. Препятствие или несоответствие может проявиться при подсчете узких мест.Так, в геометрии считают углы, вершины, стороны, площади. |
|
|
Заключительная олимпиада |
21 сентября |
8 профи и 8 кружки |
Олимпиада письменная: 5 задач на 4 часа. Варианты составлены мной и А.С.Русаковым. |
|
|
Комбинаторика: Добавь или отбрось лишнее |
2 и 3 сентября |
8 школа |
Целое можно сосчитать, представив его как сумму удобных для подсчета частей. Иногда удобнее сначала сосчитать лишнее, а потом это лишнее вычесть. Когда есть много пересекающихся множеств, удобнее разбить их на непересекающиеся части. Так можно доказать и формулу включения-исключения. |
|
|
Правило умножения и деление в комбинаторике |
4 и 5 сентября |
8 школа |
Если считаем упорядоченные пары объектов, и для каждого из m начал пары есть ровно n концов (даже при разных набрах концов для разных начал), то всего есть mn пар. |
|
|
Комбинаторика: кодировка |
7 сентября |
8 школа |
Элементы множества можно закодировать/занумеровать словами некоторого алфавита. Это сводит задачу к подсчету слов, что часто становится более-менее стандартным упражнением. |
|
|
Комбинаторика: соответствие |
12 и 13 сентября |
8 школа |
Элементы множества можно кодировать элементами другого множества. Еще множества можно сравнивать непосредственно, не пересчитывая. |