А.В.Шаповалов -->Занятия и кружки -->Сириус

Образовательный центр "Сириус", Сентябрьская смена 2015 г. "Углубленное изучение олимпиадной и школьной математики"

Смена организована дф-мн Л.Самойловым. Я веду занятия в 4-х группах 8 класса: "профи" (кружковцы со стажем), "кружки" (малоопытные кружковцы), "школа" (группы 1 и 2, мат.классы из Якутии и Сарова, мало знакомые с "кружковой" математикой). Ещё в группах "профи" и "кружки" ведут занятия А.Русаков, В.Брагин, Н.Агаханов, С.Берлов, В.Шарич и др.



Много не мало, или Мнимые противоречия

30 августа

8 профи и 8 кружки

Листок:
doc    pdf

Много и мало – понятия относительные. Если надо выигрывать чаще, а силы равны, то надо много раз выиграть по чуть-чуть, а проиграть много, но один раз.

Поиск перебором

31 августа

8 профи и 8 кружки

Листок:
doc    pdf

Идеи найдены и применены, круг поиска очерчен, но варианты все ещё остаются. Перебирать надо эффективно, то есть не пропустить случай, но и не утонуть в случаях. Перебор зависит от цели. В задачах с вопросами «Как можно…» или «Может ли …» и «Существует ли…» (с ответом «Да») достаточно найти одно решение. Тогда перебор надо начинать с удобных случаев.

Преодолеть инерцию мышления

2 сентября

8 профи и 8 кружки

Листок:
doc    pdf

Когда вводишь ограничения при поиске примера, помни о них. Если пример находится не сразу, надо будет расширять круг поиска, постепенно отказываясь от ограничений. Трудно, однако, отказаться от того, чего не замечаешь. Обходишь, например, все больше магазинов, а вещь не попадается. А ее, оказывается, вообще в магазинах не продают… Это и есть инерция мышления: создание для себя невидимых барьеров.

Редукция и разминка

3 сентября

8 профи

Листок:
doc    pdf

Метод получения простой конструкции может стать вспомогательным средством («строительными лесами»). Конструкция из упрощенной задачи послужит подсказкой к конструкции сложной задачи. Грубо говоря, прежде чем строить большой дом, полезно размяться: потренироваться на строительстве сараев и хижин.

Узкие места

4 сентября

8 профи

Листок:
doc    pdf

В задачах, где строят и исследуют конструкции, зацепкой к решению часто служит та часть конструкции, где свобода выбора – наименьшая. Такие места служат препятствиями к построению конструкции, или кажутся таковыми. Именно их мы и назовем узкими местами. Начиная от узкого места, легче прийти к противоречию или однозначно построить существенный кусок конструкции. Использовав одно узкое место, постарайтесь найти следующее.

Ослабление условий

5 сентября и 13 сентября

8 профи и
8 кружки
(Ю.Яровиков)

Листок:
doc    pdf

Сложную конструкцию можно построить, улучшив заготовку. Для этого метод ослабления условий рекомендует сначала временно отказаться от части условий задачи и построить конструкцию, где выполнены только оставшиеся условия.

Перевод на другой язык (изоморфизм)

7 сентября

8 профи

Листок:
doc    pdf

Задача, переведенная на другой язык, может оказаться гораздо легче. Не забудьте только перевести решение обратно! Переводят обычно на знакомый язык, где начинает работать интуиция.

Жадный алгоритм

8 сентября и 14 сентября

8 профи и
8 кружки

Листок:
doc    pdf

Если цель – максимум какой-то величины, то ее часто достигают с помощью «жадного алгоритма», то есть, добиваясь максимально возможного приращения на каждом шаге.

Узкие места

9 сентября

8 кружки

Листок:
doc    pdf

В задачах, где строят и исследуют конструкции, зацепкой к решению часто служит та часть конструкции, где свобода выбора – наименьшая. Такие места служат препятствиями к построению конструкции, или кажутся таковыми. Именно их мы и назовем узкими местами. Начиная от узкого места, легче прийти к противоречию или однозначно построить существенный кусок конструкции. Использовав одно узкое место, постарайтесь найти следующее.

Внутренний математический бой

9 сентября

8 профи

Задачи:
doc    pdf

20 учеников из 8 профи и 4 ученика из 8 кружок были разбиты на 4 команды и бились попарно. Задачи 1, 4 и 7 не решил никто.

Редукция и разминка

10 сентября

8 кружки

Листок:
doc    pdf

Метод получения простой конструкции может стать вспомогательным средством («строительными лесами»). Конструкция из упрощенной задачи послужит подсказкой к конструкции сложной задачи. Грубо говоря, прежде чем строить большой дом, полезно размяться: потренироваться на строительстве сараев и хижин.

Дискретная непрерывность и разрывы

10 сентября

8 профи

Листок:
doc    pdf

Если какая-то целочисленная величина в процессе меняется на каждом шаге не больше чем на 1 (в ту или другую сторону), то она обязательно проходит через все промежуточные значения между начальным и конечным. Если процесса нет, организуй сам. Подбери начало и конец процесса так, чтобы они были по разные стороны от нужного значения.

Переправы и инвариант

12 сентября

8 профи

Листок:
doc    pdf

Если объекты или ситуации задачи четко делятся на две категории (два берега, два цвета), и если путь начинается на одном берегу, а заканчивается на другом, то неизбежно придется переправляться. Переправа может оказаться ключевым местом решения: надо только суметь привязать к ней вопрос задачи.

Перевод на другой язык (изоморфизм)

13 сентября

8 кружки

Листок:
doc    pdf

Задача, переведенная на другой язык, может оказаться гораздо легче. Не забудьте только перевести решение обратно! Переводят обычно на знакомый язык, где начинает работать интуиция.

Счет узких мест

14 сентября

8 профи

Листок:
doc    pdf

Сколько пассажиров может перевезти поезд – зависит от числа мест. А как быстро пассажиры смогут высадится – зависит от числа дверей. Точно так же, и в задаче можно получить искомую оценку, выделив узкие места и подсчитав их количество.

Дискретная непрерывность и разрывы

15 сентября

8 кружки

Листок:
doc    pdf

Если какая-то целочисленная величина в процессе меняется на каждом шаге не больше чем на 1 (в ту или другую сторону), то она обязательно проходит через все промежуточные значения между начальным и конечным. Если процесса нет, организуй сам. Подбери начало и конец процесса так, чтобы они были по разные стороны от нужного значения.

Испытания и оценки

15 сентября

8 профи

Листок:
doc    pdf

Пусть надо выявить один предмет из многих, и каждый вопрос делит все предметы на несколько групп, выясняя, в какую из групп попал искомый случай. Выгоднее делить на равные или примерно равные группы. В простых случаях ответы являются предметами: монетами, карточками, числами. В сложных случаях варианты ответа будут комбинациями: парами предметов, или предмет+свойство. Комбинации можно выписать на карточки и рассуждать с карточками как с предметами.

Переправы (смена цвета)

17 сентября

8 кружки

Листок:
doc    pdf

Если объекты или ситуации задачи четко делятся на две категории (два берега, два цвета), и если путь начинается на одном берегу, а заканчивается на другом, то неизбежно придется переправляться. Переправа может оказаться ключевым местом решения: надо только суметь привязать к ней вопрос задачи.

Неоднозначные данные

17 сентября

8 профи

Листок:
doc    pdf

Доказываем, что информации недостаточно для получения однозначного ответа. Для этого строим два примера, которые удовлетворяют всем условиям, но дают разные ответы.

Испытания и оценки

18 и 19 сентября

8 кружки

Листок:
doc    pdf

Пусть надо выявить один предмет из многих, и каждый вопрос делит все предметы на несколько групп, выясняя, в какую из групп попал искомый случай. Выгоднее делить на равные или примерно равные группы. В простых случаях ответы являются предметами: монетами, карточками, числами. В сложных случаях варианты ответа будут комбинациями: парами предметов, или предмет+свойство. Комбинации можно выписать на карточки и рассуждать с карточками как с предметами.

Разрезания: счет узких мест

19 сентября

8 профи

Листок:
doc    pdf

Узкое место редко состоит из одного элемента, обычно это группа из нескольких элементов конструкции, иногда отдаленных друг от друга. Препятствие или несоответствие может проявиться при подсчете узких мест.Так, в геометрии считают углы, вершины, стороны, площади.

Заключительная олимпиада

21 сентября

8 профи и 8 кружки

Условия:
doc    pdf
Решения: doc    pdf

Олимпиада письменная: 5 задач на 4 часа. Варианты составлены мной и А.С.Русаковым.

Комбинаторика: Добавь или отбрось лишнее

2 и 3 сентября

8 школа

Листок:
doc    pdf

Целое можно сосчитать, представив его как сумму удобных для подсчета частей. Иногда удобнее сначала сосчитать лишнее, а потом это лишнее вычесть. Когда есть много пересекающихся множеств, удобнее разбить их на непересекающиеся части. Так можно доказать и формулу включения-исключения.

Правило умножения и деление в комбинаторике

4 и 5 сентября

8 школа

Листок:
doc    pdf

Если считаем упорядоченные пары объектов, и для каждого из m начал пары есть ровно n концов (даже при разных набрах концов для разных начал), то всего есть mn пар.

Комбинаторика: кодировка

7 сентября

8 школа

Листки. Версия 1:
doc    pdf
Версия 2: doc    pdf

Элементы множества можно закодировать/занумеровать словами некоторого алфавита. Это сводит задачу к подсчету слов, что часто становится более-менее стандартным упражнением.

Комбинаторика: соответствие

12 и 13 сентября

8 школа

Листок:
doc    pdf

Элементы множества можно кодировать элементами другого множества. Еще множества можно сравнивать непосредственно, не пересчитывая.