А.В.Шаповалов => Занятия и кружки=> Школа 1543

Математический кружок 11 класса

при школе 1543, г. Москва



Участвовали ученики класса Е.Чернышевой. Занятия проходили онлайн. Формы занятий: решение задач, их обсуждение.



 

Цифры 2n

Листок: doc    pdf

Как доказать, что степень двойки может начинаться с любой комбинации цифр.

Фазовое пространство

Листок: doc    pdf

Фазовое пространство – это множество объектов, рассмотренное как единое целое. Когда удаётся представить его как гмт, можно к решению привлечь геометрические методы.

Цифры 2n(2)

Листок: doc    pdf

Повторение и продолжение первого занятия (1 час)

Фазовое пространство(2)

Листок: doc    pdf

Повторение и продолжение второго занятия (1 час)

Правильные многогранники

Листок: doc    pdf

Работа с правильными многогранниками оказывается легкой как только преодолеешь боязнь трехмерного пространства!

Двудольные графы

Листок: doc    pdf

Использование двудольных графов помогает подсчетам и оценкам при раскраске в два цвета. Важно научиться видеть двудольный граф в "неграфской" задаче.

Правильные раскраски графов

Листок: doc    pdf

Изучаем хроматическое число графа и его плотность, вводим понятие клики и антиклики.

Увидеть граф

Листок: doc    pdf

Самое главное в знании о графах: суметь увидеть граф в задаче, которая на вид совсем не про графы.

Испытания и жадный алгоритм

Листок: doc    pdf

Подсчитав при испытании количество случаев, ставьте такой вопрос, чтобы в наихудшем варианте число случаев было как можно меньшим.

Испытания

Листок: doc    pdf

Для оценки числа испытаний бывает полезно увидеть граф и применить неравенство для числа вершин В, ребер Р и компонент связности K: Р+К >= В

Испытания-2: Взвешивания

Листок: doc    pdf

На чашечных весах без гирь основной прием решения: суметь увидеть все возможные случаи и проводить трисекцию случаев, т.е. именно из сравнения числа случаев подбирать взвешивания. На весах со стрелкой работают идеи и приёмы: 1) смотреть наибольшую и наименьшую возможную массу; 2) алгебраизация – массы можно искать как решения уравнений и систем уравнений; 3) деление на большее число групп.

Естественный алгоритм

Листок: doc    pdf

Естественный алгоритм легко найти, но трудно поверить или проверить, что он срабатывает (осуществим, достигает цели, оптимален).

Инвариант Дена

Листок: doc    pdf

Доказательство третьей проблемы Гильберта: почему нельзя перекроить правильный тетраэдр в рановеликий ему куб.

Алгебраические числа

Листок: doc    pdf

Алгебраические числа – это корни многочленов с целыми коэффициентами. Они не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами (теорема Лиувилля), что даёт явную конструкцию не алгебраического (трансцендентного) числа.

Перевод на другой язык (Изоморфизм)

Листок: doc    pdf

Задача, переведённая на другой (обычно - более знакомый) язык может стать более лёгкой. Не забудьте только перевести решение обратно.

Комбинаторный метод в теории чисел

Листок: doc    pdf

Чтобы доказать делимость числа a на b, придумываем множество объектов размера a/b + c, где c – тоже целое.