А.В.Шаповалов -->Занятия и кружки -->Сириус

Образовательный центр "Сириус", Смена региональных летних математических школ, 1-24 мая 2016 г.

Смена организована дф-мн Л.М.Самойловым и О.С.Нечаевой. Я веду занятия в группе 7 класса 7A(кружковцы со стажем) совместно с А.М.Пешниным. Активно сотрудничаю с преподавателями групп 7B, 7C и 7D. Там ведут занятия А.Володина, А.Ламтюгин, В.Наймушин и А.Солынин.
Я был не всю смену, а только с 1 по 14 мая. Ниже публикую не все листочки, а только те, которые я делал и по которым вел.
Учитывая провал школьной алгебры даже среди кружковцев и успешных олмпиадников, все занятия мы старлись "пропитывать" арифметикой и алгеброй.
Несколько тем вел впервые: Подсчет двумя способами в графах, ГМТ и перебор случаев, Эйлеровы пути и обходы, Равномерное распределение ресурса. Три темы вел раньше в классах постарше, а теперь спустил семикласснкам: Разрезания и суммы углов, Посредники в неравенствах, Покрытия.



Преодолеть инерцию мышления

1 мая

6, 7 и 8 классы

Листок:
doc    pdf

Когда вводишь ограничения при поиске примера, помни о них. Если пример находится не сразу, надо будет расширять круг поиска, постепенно отказываясь от ограничений. Трудно, однако, отказаться от того, чего не замечаешь. Обходишь, например, все больше магазинов, а вещь не попадается. А ее, оказывается, вообще в магазинах не продают… Это и есть инерция мышления: создание для себя невидимых барьеров.

Много не мало, или Мнимые противоречия

2 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Много и мало – понятия относительные. Если надо выигрывать чаще, а силы равны, то надо много раз выиграть по чуть-чуть, а проиграть много, но один раз.

Редукция и разминка

3 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Метод получения простой конструкции может стать вспомогательным средством («строительными лесами»). Конструкция из упрощенной задачи послужит подсказкой к конструкции сложной задачи. Грубо говоря, прежде чем строить большой дом, полезно размяться: потренироваться на строительстве сараев и хижин.

Площади

3 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Свойства площадей и формулы для параллелограмма, треугольника, трапеции.

Разрезания и суммы углов

4 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Счет углов позволяет найти нужное разрезание или доказать, что разрезать невозможно.

Разворачивание сумм и произведений

4 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Метод телескопических сумм: представьте все слагаемые в виде разности так, чтобы в «развернутой» сумме почти все члены взаимно уничтожились с соседями. Кажется, что это применимо только к небольшому списку искусственно подобранных сумм. Однако, если мы «подозреваем» формулу F(n) для суммы n первых членов, это немедленно дает нам представление n-го члена как разности F(n)-F(n-1).

ГМТ и замечательные точки треугольника

6 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис и медиан являются пересечениями трех однотипных ГМТ, что позволяет с помощью равенств доказывать их существования.

Посредники в неравенствах

7 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Чтобы доказать неравенство A<B, можно выбрать посредник P и доказать, например, A<P и P≤B. Искусство состоит в выборе P. В геометрии дополнительное построение часто именно и строит посредник.

Свяжитесь с графом

8 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Видеозапись

Открытый урок. Широко известно, что число рёбер в связном графе может быть меньше числа вершин не более чем на 1: Р<В-1. Это неравенство часто помогает найти нетривиальную оценку, стоит только увидеть за конструкцией связный граф.

Геометрические неравенства

10 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Доказывать неравенства помогают посредники и дополнительные построения. Для сравнения суммы отрезков с другим отрезков такие построения нужны почти всегда.

Жадный алгоритм

10 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Если цель – максимум какой-то величины, то ее часто достигают с помощью «жадного алгоритма», то есть добиваясь максимально возможного приращения на каждом шаге. А если цель – максимум числа шагов на фиксированном расстоянии, то жадный алгоритм советует выбирать самые короткие шаги.

Покрытия

11 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Покрытия приучают формулировать и доказывать естественные геометрические неравенства. Помогает идея посредника (А накрывает P, а P накрывает B) и покрытие по частям.

Подсчет двумя способами в графах

11 мая

7A

Листок:
doc    pdf

В дискретных задачах запись соотношений в виде уравнений и неравенств чаще всего возникает для таблиц и графов. Для сильных учеников пунктиром проходит идея нагруженных графов.

ГМТ и перебор случаев

12 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Необходимость перебирать в геометрии случаи разного взаимного расположения часто ставит учеников в тупик. Несложные задачи с таким перебором помогут им связать геометрию с уже изученными приемами из дискретной математики и логики.

Эйлеровы пути и обходы

12 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Связь существования путей и обходов по всем ребрам с четностью кружковцам хорошо известна, необходимость очевидна. В процессе обсуждения неожиданно выясняется, что у них есть средства доказать и достаточность. Более того, "игрушечный" факт о рисовании одним росчерком пера помогает решать серьезные задачи, включая минимальную последовательность нажатий для раскрытия кода!

Равномерное распределение ресурса

13 мая

7A

Листок:
doc    pdf

Трудная тема: задачи на оценку+пример для недискретных величин. Неожиданно оказывается, что "справедливое" или "жадное" распределение оказывается самым выгодным.