Смена организована дф-мн Л.М.Самойловым и О.С.Нечаевой. Я веду занятия в группе 7 класса 7A(кружковцы со стажем) совместно с А.М.Пешниным. Активно сотрудничаю с преподавателями групп 7B, 7C и 7D. Там ведут занятия А.Володина, А.Ламтюгин, В.Наймушин и А.Солынин.
Я был не всю смену, а только с 1 по 14 мая. Ниже публикую не все листочки, а только те, которые я делал и по которым вел.
Учитывая провал школьной алгебры даже среди кружковцев и успешных олмпиадников, все занятия мы старлись "пропитывать" арифметикой и алгеброй.
Несколько тем вел впервые: Подсчет двумя способами в графах, ГМТ и перебор случаев, Эйлеровы пути и обходы, Равномерное распределение ресурса. Три темы вел раньше в классах постарше, а теперь спустил семикласснкам: Разрезания и суммы углов, Посредники в неравенствах, Покрытия.
|
Преодолеть инерцию мышления |
1 мая |
6, 7 и 8 классы |
Когда вводишь ограничения при поиске примера, помни о них. Если пример находится не сразу, надо будет расширять круг поиска, постепенно отказываясь от ограничений. Трудно, однако, отказаться от того, чего не замечаешь. Обходишь, например, все больше магазинов, а вещь не попадается. А ее, оказывается, вообще в магазинах не продают… Это и есть инерция мышления: создание для себя невидимых барьеров. |
|
|
Много не мало, или Мнимые противоречия |
2 мая |
7A |
Много и мало – понятия относительные. Если надо выигрывать чаще, а силы равны, то надо много раз выиграть по чуть-чуть, а проиграть много, но один раз. |
|
|
Редукция и разминка |
3 мая |
7A |
Метод получения простой конструкции может стать вспомогательным средством («строительными лесами»). Конструкция из упрощенной задачи послужит подсказкой к конструкции сложной задачи. Грубо говоря, прежде чем строить большой дом, полезно размяться: потренироваться на строительстве сараев и хижин. |
|
|
Площади |
3 мая |
7A |
Свойства площадей и формулы для параллелограмма, треугольника, трапеции. |
|
|
Разрезания и суммы углов |
4 мая |
7A |
Счет углов позволяет найти нужное разрезание или доказать, что разрезать невозможно. |
|
|
Разворачивание сумм и произведений |
4 мая |
7A |
Метод телескопических сумм: представьте все слагаемые в виде разности так, чтобы в «развернутой» сумме почти все члены взаимно уничтожились с соседями. Кажется, что это применимо только к небольшому списку искусственно подобранных сумм. Однако, если мы «подозреваем» формулу F(n) для суммы n первых членов, это немедленно дает нам представление n-го члена как разности F(n)-F(n-1). |
|
|
ГМТ и замечательные точки треугольника |
6 мая |
7A |
Точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис и медиан являются пересечениями трех однотипных ГМТ, что позволяет с помощью равенств доказывать их существования. |
|
|
Посредники в неравенствах |
7 мая |
7A |
Чтобы доказать неравенство A<B, можно выбрать посредник P и доказать, например, A<P и P≤B. Искусство состоит в выборе P. В геометрии дополнительное построение часто именно и строит посредник. |
|
|
Свяжитесь с графом |
8 мая |
7A |
Открытый урок. Широко известно, что число рёбер в связном графе может быть меньше числа вершин не более чем на 1: Р<В-1. Это неравенство часто помогает найти нетривиальную оценку, стоит только увидеть за конструкцией связный граф. |
|
|
Геометрические неравенства |
10 мая |
7A |
Доказывать неравенства помогают посредники и дополнительные построения. Для сравнения суммы отрезков с другим отрезков такие построения нужны почти всегда. |
|
|
Жадный алгоритм |
10 мая |
7A |
Если цель – максимум какой-то величины, то ее часто достигают с помощью «жадного алгоритма», то есть добиваясь максимально возможного приращения на каждом шаге. А если цель – максимум числа шагов на фиксированном расстоянии, то жадный алгоритм советует выбирать самые короткие шаги. |
|
|
Покрытия |
11 мая |
7A |
Покрытия приучают формулировать и доказывать естественные геометрические неравенства. Помогает идея посредника (А накрывает P, а P накрывает B) и покрытие по частям. |
|
|
Подсчет двумя способами в графах |
11 мая |
7A |
В дискретных задачах запись соотношений в виде уравнений и неравенств чаще всего возникает для таблиц и графов. Для сильных учеников пунктиром проходит идея нагруженных графов. |
|
|
ГМТ и перебор случаев |
12 мая |
7A |
Необходимость перебирать в геометрии случаи разного взаимного расположения часто ставит учеников в тупик. Несложные задачи с таким перебором помогут им связать геометрию с уже изученными приемами из дискретной математики и логики. |
|
|
Эйлеровы пути и обходы |
12 мая |
7A |
Связь существования путей и обходов по всем ребрам с четностью кружковцам хорошо известна, необходимость очевидна. В процессе обсуждения неожиданно выясняется, что у них есть средства доказать и достаточность. Более того, "игрушечный" факт о рисовании одним росчерком пера помогает решать серьезные задачи, включая минимальную последовательность нажатий для раскрытия кода! |
|
|
Равномерное распределение ресурса |
13 мая |
7A |
Трудная тема: задачи на оценку+пример для недискретных величин. Неожиданно оказывается, что "справедливое" или "жадное" распределение оказывается самым выгодным. |