Летняя школа Малого мехмата, Болгария, Приморско
1-18 июля 2017 г.
Группа 7-1
Руководители: Коробицын Дмитрий Александрович, Власков Андрей Тимофеевич, Шаптала Ирина Рудольфовна
Ученики: Бидва Максим,
Гладыш Татьяна,
Гринчий Юрий,
Иванова Анисья,
Клигунов Иван,
Кулешов Степан,
Лобанов Илья,
Марулев Платон,
Мельников Алексей,
Мехралиев Артём,
Нестеренко Виталий,
Орлов Григорий,
Почепцов Игорь,
Руденко Антон,
Фадеев Родион
Мне помогал Алексей Андреевич Глазкин
Программа зачёта
1. Число вершин и сторон как узкое место при разрезании многоугольника. Задача о разрезании квадрата на 33-угольник и 4 десятиугольника.
2. Счет углов при разрезании выпуклых многоугольников диагоналями. Задача о разбиении 10-угольника на четырёхугольники диагоналями, пересекающимися в двух точках.
3. Счёт углов при разрезании невыпуклых многоугольников, учёт углов больших 180°. Задача о разрезании креста на треугольники.
4. Подсчет двумя способами и составление уравнений. Задача о трех олимпиадах.
5. Разбиение на группы про составлении уравнений. Задача о центральной клетке магического квадрата.
6. Перебор случаев при составлении уравнений. Задача о разбиении квадрата на 3 прямоугольника, где один периметр равен сумме двух других.
7. Пошаговое конструирование. Задача о построении новых простых чисел.
8. Пошаговое конструирование методом перестройки последнего этажа. Задача о представлении 1 в виде суммы дробей с числителем 1.
9. Построение с несколькими стартовыми этажами. Задача о разбиении на пяти- и шестиугольники.
10. Расположение покрывающей фигуры и оценка расстояний. Задача о покрытии перескающихся единичных отрезков кругом радиуса 1.
11. Доказательство невозможности покрытия путём выделения подмножества (узког места), которое нельзя покрыть.
12. Вспомогательное разбиение и покрытие по частям. Задача о покрытии квадрата площади 2 кругами диаметра 1.
13. Цепочка редукций. Задача о зачеркивании почти всех точек.
|
Разрезания: счет узких мест
|
8 июля
|
Листок:
doc pdf
|
Узкое место – та часть конструкции, где свобода выбора – наименьшая. Такие места служат (или кажутся) препятствиями к построению конструкции, и часто бывают зацепкой к решению. Узкое место редко состоит из одного элемента, обычно это группа из нескольких элементов конструкции, иногда отдаленных друг от друга. Препятствие или несоответствие может проявиться при подсчете узких мест.Так, в геометрии считают углы, вершины, стороны, площади.
|
|
Уравнение за кадром
|
9 июля
|
Листок:
doc pdf
|
Полезно посчитать что-нибудь двумя разными способами (чаще всего это – общая сумма). Если результаты выглядят по-разному, то может получиться либо противоречие (значит, такого не бывает), либо уравнение (и решив его, найдем неизвестное). Вообще, в нестандартных задачах важнее правильно составить уравнение, чем его решить.
При составлении уравнения может понадобиться перебор случаев. Ситуация может задаваться большим количеством чисел. Если ясно, что все их не найдешь, можно не вводить лишних букв для таких неизвестных, а искать связи между суммами в группах, и брать за неизвестные эти суммы.
|
|
Пошаговое конструирование
|
10 июля
|
Листок:
doc pdf
|
Многоэтажные здания строят, ставя по очереди следующий этаж на предыдущий. Так, начав, например, с двухэтажного коттеджа, можно построить 100-этажный небоскрёб.
|
|
Покрытия
|
11 июля
|
Листок:
doc pdf
|
Расположите покрывающую фигуру правильно. Фигура покрыта, если покрыты все её точки. При покрытии несколькими фигурами разбейте покрываемую фигуру на части и покройте каждую из частей.
|
|
Редукция
|
12 июля
|
Листок:
doc pdf
|
Не решается задача – реши её упрощённый вариант. Оттуда можно взять и результат, и метод. Результат – простая конструкция – может стать частью конструкции сложной задачи, послужить основой или строительным блоком. Так, первый этаж – важная часть многоэтажки. Но и двухэтажный дом может стать частью могоэтажного. Научившись надстраивать этаж, мы свели постройку трехэтажного дома к постройке двухэтажного. Такое сведение называют ещё редукцией. Цепочка редукций сведёт постройку могоэтажного дома к постройке одноэтажного: такой приём называют индукцией.
|
|
Математический бой
|
14 июля
|
Листок:
doc pdf
|
Математический бой "верхней половины" группы 7-1 против группы 9-1. |