А.В.Шаповалов => Задачи и подборки => Геометрия

Десяток моих задач на делимость в геометрии

Кажется, что может быть дальше от геометрии, чем задачи на делимость. А вот поди ж ты, удаётся как-то связать. Самое простое - явно сказать о делимости, как в задаче 1, или потребовать целых чисел, как в задаче 5. Можно схитрить: резать клетчатую фигуру по границам клеток. Тогда при подсчёте клеток целые числа сами вылезут. Конечно, целых чисел и в геометрии немало: число сторон, число вершин. Но даже при разрезаниии на треугольники делимость уже вызывает некоторое удивление, а особенно - если треугольники не обязательно равны. Самый потрясающий из известных мне фактов: квадрат нельзя разрезать на нечётное число равновеликих треугольников, а куб нельзя разрезать на некратное 6 число равновеликих тетраэдров. На школьном уровне этого, увы, не докажешь. Но порешайте хотя бы предложенные задачи, и получите удовольствие от единства математики.

1. 24 точки на окружности занумерованы (возможно, в беспорядке) нечетными числами 3, 5, 7, ..., 49. Если один номер делится на другой, точки соединяются хордой. Докажите, что найдутся хорды, пересекающиеся внутри круга.
Решение

2. Можно ли разрезать квадрат на равные треугольники и сложить из всех них два не равных квадрата?
Решение

3.а) Клетчатый квадрат 18×18 разрезали по границам клеток на 18 прямоугольников. Один из них отложили, а из остальных составили квадрат 10×10. Найдите размеры отложенного прямоугольника.
б) Клетчатый квадрат 18×18 разрезали по границам клеток на 18 прямоугольников. Один из них отложили в сторону, а из остальных составили прямоугольник с периметром 234. Найдите размеры отложенного прямоугольника.
Решение

4. Правильный треугольник прямыми, параллельными сторонам, разбит на клетки в форме правильных треугольничков со стороной 1. Часть клеток закрасили так, что закрашенные образовали меньший правильный треугольник, и осталось неокрашенными 2011 клеток. Докажите, что была окрашена хотя бы одна угловая клетка.

5. Существует ли треугольник, в котором все стороны и все высоты измеряются целым числом сантиметров?
Решение

6. Радиусы вписанных окружностей двух правильных многоугольников равны. Докажите, что n-угольник можно накрыть m-угольником тогда и только тогда, когда n делится на m.
Решение

7. Бумажный многоугольник площади 2S назовем оберткой данного картонного прямоугольника площади S, если многоугольником можно покрыть обе стороны прямоугольника без наложений и перекрытий (естественно, согнув его несколько раз). Общей оберткой двух прямоугольников называется многоугольник, который является оберткой как 1-го, так и 2-го. Докажите, что для любых натуральных k, l, m у прямоугольников kl×m и k×lm есть общая обертка.
Решение

8. На плоскости нарисованы прямые с соблюдением таких условий:
1) на каждой прямой есть хотя бы две точки пересечения, причем расстояние между любыми точками пересечения не меньше 1;
2) прямые, проходящие через любую точку пересечения, делят плоскость на равные углы.
Саша смотрит, сколько прямых пересекается в той или иной точке, и выписывает (по одному разу) все найденные им числа. Какие записи могут получиться у Саши?
Решение

9. Докажите, что правильный N-угольник можно разбить непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники тогда и только тогда, когда N является суммой двух степеней двойки с целыми неотрицательными показателями.
Решение

10. A и B – два прямоугольника. Из прямоугольников, равных A, сложили прямоугольник, подобный B. Докажите, что из прямоугольников, равных B, можно сложить прямоугольник, подобный A.