А.В.Шаповалов => Задачи и подборки => Геометрия

2. Можно. Разрежем каждую клетку клетчатого квадрата 5×5 на равные треугольники, сложим из них клетки, а из клеток – квадраты 4×4 и 3×3.

3.а) Ответ. 14×16. Решение. Площадь отложенного прямоугольника равна 18×18–10×10 = 224. Разложим ее на простые множители: 224 = 2·2·2·2·2·7. Значит, длина одной из сторон отложенного прямоугольника кратна 7. Она не больше 18, поэтому равна 7 или 14. Но если она равна 7, то другая сторона равна 32, что больше 18. Противоречие. Поэтому приведенный ответ — единственный.

8. Ответ: [2]; [3]; [2, 4]; [2, 3, 6].

5. Да, например прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Две его высоты совпадают с катетами, а третья равна 12 см.

1. Вершины цикла 3-21-7-35-5-15-3 обязаны лежать на окружности именно в этом порядке. На какую бы из 6 дуг мы не поместили число 45, хорда 3-45 или хорда 5-45 пересечёт сторону цикла.

7. Разделим оба многоугольника на клетки k×m (1-й представит собой полоску l×1 из таких прямоугольных клеток, а 2-й – полоску 1×l). Общую обертку можно изготовить в виде зигзагообразной 2l-клеточной фигуры следующего вида: к 1-й клетке k×m (считаем, что у всех клеток сторона длины k вертикальная) 2-ю клетку приклеиваем справа, ко 2-й 3-ю – снизу, к 3-й 4-ю – снова справа и т.д. Тогда для обертывания 2-го многоугольника нужно складывать обертку и переходить на другую сторону многоугольника по всем сторонам клеток, имеющим длину m, а для обертывания 2-го – сложить пополам две крайние клетки, а затем складывать обертку по сторонам длины k.

9. Примем за 1 длину дуги между соседними вершинами. Тогда длины дуг между несоседними вершинами будут натуральными. Будем обозначать стягивающие их диагонали и хорды теми же числами. Заметим еще, что d(a)+d(b)≥d(a+b). Если N – четно, стороны обязаны быть боковыми сторонами равнобедренных треугольников. Последовательным делением пополам сводим задачу к нечетному N=2p+1. Тогда ровно одна сторона – основание равнобедренного треугольника. Его боковые стороны равны p. Но p обязано быть основанием в отсеченном сегменте, боковые стороны p/2. Так продолжая, видим что p – степень двойки.

6. Пусть n = km. Выделим в n-угольнике каждую k-ю сторону, всего m сторон. Продолжим эти стороны до прямых и пересечем соответствующие полуплоскости, содержащие n-угольник. Эта фигура накрывает n-угольник и в то же время является правильным m-угольником с той же вписанной окружностью (точки касания совпадают). Пусть можно накрыть. Тогда накрыта и вписанная окружность W n-угольника. Разобьем m-угольник на дельтоиды, соединив центр с серединами сторон. Если бы центр W попал внутрь дельтоида, то расстояние от него до некоторой стороны было бы меньше радиуса, и окружность вылезла бы за пределы m-угольника. Значит, вписанные окружности совпали. Точка касания m-угольника обязана быть точкой касания n-угольника, а поскольку длины дуг между соседними точками касания m-угольника равны, то на этих дугах лежит поровну точек касания n-угольника, откуда делимость.