А.В.Шаповалов => Занятия и кружки

Математическая индукция

Математическая индукция помогает коротко записать строгое решения, но не объясняет, как его придумать, и в чем его смысл. В простых случаях индукция остается «за кадром»: в цепочке, построенной по очевидному закону, вполне хватает многоточия между первыми и последними членами; свойство, которое не меняется на каждом шаге, является инвариантом, хотя формально и там и тут доказательство проводится индукцией по числу шагов. Во многих случаях удается наряду с доказательством по индукции дать и другое решение, отражающее суть задачи точнее.
Наиболее оправдано применение индукции при построении сложных конструкций, когда очередной этаж строится на основе уже построенных нижних этажей. Собственно, построение по индукции является частным случаем постепенного конструирования и может быть при необходимости преобразовано в явный алгоритм.
Желающим подробностей рекомендуем главу «Индукция» И.С.Рубанова в книге "Ленинградские математические кружки".

Кружок при школе Сони Ковалевской, 8 класс, 2005 г.

Индукция

Еще традиционное занятие по мотивам книги «Школьные математические кружки»

Кировская ЛМШ, Профи-7, 2000 г.

Индукция(ликбез)

Это не полноценное занятие, а набор задач для тех, кто почему-либо к данному моменту про индукцию мало чего знал.

Онлайн-кружок, Набережные Челны, 7 класс, 2013-14 г.

Индуктивное построение

Многоэтажный дом строят не сразу, а последовательно: этаж за этажом. Следующий этаж опирается на предыдущий. Так и сложную конструкцию можно получить из простой базовой конструкции, сделав нужное число однотипных добавок.

Московские сборы, Осень 2012

Конструкции по индукции-1

Многоэтажные здания строят, ставя по очереди следующий этаж на предыдущий. В математике этому соответствует индуктивное построение, когда, например, конструкция для n+1 строится из конструкции для n. Бывают конструкции, где удобнее надстраивать сразу по нескольку этажей. База индукции состоит обычно из нескольких конструкций.

Московские сборы, Осень 2012

Конструкции по индукции-2

Продолжение предыдущего занятия: задачи посложнее.

Московские сборы, Осень 2013

Конструкции по индукции

Группа 9-1

Группа 9-2

Оформление доказательств через математическую индукцию нужно редко. Важнее показать, как индуктивное построение можно превратить в явный алгоритм.

Московские сборы, Весна 2014

Индукция

Индуктивное построение, "целься сверху", редукция и рекурсия.

Московские сборы, Весна 2013

Индукция

Группа 9-1

Группа 9-2

Индуктивное построение, "целься сверху", редукция и рекурсия.

Московские сборы, Весна 2013

Бесконечное и минимальный контрпример

Лестница надежна, если надежны все ее ступеньки. Но это надо проверять. Узким местом часто оказывается самая низкая из ненадежных ступенек. Дополнительное свойство «самая низкая» создает то ограничение свободы, которое облегчает поиск (если есть) или проверку отсутствия (если нет) такой ступеньки. В самом деле, если нет самой низкой ненадежной ступеньки, то ненадежных ступенек нет вообще (мы считаем, что лестница не уходит бесконечно вниз, то есть бесконечный спуск невозможен). То же самое на математическом языке можно сказать и по-другому: либо есть минимальный контрпример, либо контрпримера нет вообще.