А.В.Шаповалов => Турниры

Московская устная олимпиада по математике

2019    2018    2017    2016    2015    2014    2012    2011    2010

При составлении вариантов Московского матпраздника задач придумывается много, с запасом. Хорошие задачи не пропадают, а уходят на другие соревнования, в частности – на устную городскую олимпиаду: она ведь тоже для 6 и 7 классов.


2019 год

Полные варианты с решениями: 6 класс    7 класс



2018 год

6-7, 7-7. СТОИМОСТЬ ОБЕДОВ
Цена стандартного обеда в таверне «Буратино» зависит только от дня недели. Аня обедала 10 дней подряд, начиная с 10 июля, и заплатила 70 сольдо. Ваня также заплатил 70 сольдо за 12 обедов, начиная с 12 июля. Таня заплатила 100 сольдо за 20 обедов, начиная с 20 июля. Сколько заплатит Саня за 24 обеда, начиная с 24 июля?

Полные варианты с решениями: 6 класс    7 класс



2017 год

7-3. ЦВЕТНЫЕ КУБИКИ
У Саши было четыре раскрашенных кубика. Расставляя их по-разному, он по очереди сфотографировал три фигуры (см. рисунок сверху). Затем Саша сложил из них параллелепипед размером 2 × 2 × 1 и сделал его черно-белое фото (см. рисунок снизу). Все видимые на фото грани кубиков одного и того же цвета. Какого?

Полные варианты с решениями: 6 класс    7 класс



2016 год

6-3. ПЕРЕПРАВА
На левом берегу реки собрались 5 физиков и 5 химиков. Всем надо на правый берег. Есть двухместная лодка. На правом берегу ни в какой момент не могут находиться ровно три химика или ровно три физика. Каким образом им всем переправиться, сделав 9 рейсов направо? (Если человек приплыл к берегу в лодке и, не высаживаясь, уплыл обратно, он на этом берегу не считается)

6-6. ОДНОКЛАССНИКИ
На кружок пришли дети из двух классов: Ваня, Дима, Егор, Инна, Леша, Саша и Таня. На вопрос: «Сколько здесь твоих одноклассников?» каждый честно ответил «Двое» или «Трое». Но мальчики думали, что спрашивают только про мальчиков-одноклассников, а девочки правильно понимали, что спрашивают про всех. Кто Саша – мальчик или девочка?

7-5. ПЕСТИКИ – ТЫЧИНКИ
Артемон подарил Мальвине букет из аленьких цветочков и черных роз. У каждой черной розы 4 пестика и 4 тычинки, а на стебле 2 листка. У каждого аленького цветочка 8 пестиков и 10 тычинок, а на стебле 3 листка. Листков в букете на 108 меньше, чем пестиков. Сколько тычинок в букете?

Полные варианты с решениями: 6 класс    7 класс



2015 год

6-3. ОРЕХИ
В ряд стояло 10 детей. В сумме у девочек и у мальчиков орехов было поровну. Каждый ребёнок отдал по ореху каждому из стоящих правее его. После этого у девочек стало на 25 орехов больше, чем было. Сколько в ряду девочек?

6-5. РАВЕНСТВО
Может ли в равенстве 1/x = 1/y + 1/z одно из чисел x, y, z быть однозначным, другое – двузначным, третье – трёхзначным?

7-4. ЧИСЛОВОЙ КРУГ
Незнайка хочет записать по кругу 2015 натуральных чисел так, чтобы для любых двух соседних чисел частное от деления большего на меньшее было простым числом. Знайка утверждает, что это невозможно. Прав ли Знайка?

Полные варианты с решениями



2014 год

6-5. УГОЛКИ
УГОЛКИ На клетчатой доске размером 4×4 Петя закрашивает несколько клеток. Вася выиграет, если сможет накрыть все эти клетки не пересекающимися и не вылезающими за границу квадрата уголками из трёх клеток. Какое наименьшее количество клеток должен закрасить Петя, чтобы Вася не выиграл?

6-6. КАНАТНАЯ ДОРОГА
К кабинке канатной дороги, ведущей на гору, подошли четыре человека, которые весят 50, 60, 70 и 90 кг. Смотрителя нет, а в автоматическом режиме кабинка ездит туда-сюда только с грузом от 100 до 250 кг (в частности, пустой она не ездит), при условии, что пассажиров можно рассадить на две скамьи так, чтобы веса на скамьях отличались не более, чем на 25 кг. Каким образом все они смогут подняться на гору?

7-7. УШИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
Два угла прямоугольного листа бумаги согнули так, как показано на рисунке. Противоположная сторона при этом оказалась разделенной на три равные части. Докажите, что закрашенный треугольник – равносторонний.

Полные варианты с решениями



2013 год

Полные варианты с решениями



2012 год

6-2. РОМБ.
Из 16 спичек сложен ромб со стороной в две спички и разбит на треугольники со стороной в одну спичку (см. рисунок). А сколько спичек потребуется, чтобы сложить ромб со стороной в 10 спичек, разбитый на такие же треугольники со стороной в одну спичку?

6-3. ТРЕУГОЛЬНИК.
Города A, B и C вместе с соединяющими их прямыми дорогами образуют треугольник. Известно, что прямой путь из A в B на 200 км короче объезда через C, а прямой путь из A в C на 300 км короче объезда через B. Найдите расстояние между городами B и C.

6-9. ДВОРЕЦ.
План дворца шаха – это квадрат размером 6×6, разбитый на комнаты размером 1×1. В середине каждой стены между комнатами есть дверь. Шах сказал своему архитектору: «Cломай часть стен так, чтобы все комнаты стали размером 2×1, новых дверей не появилось, а путь между любыми двумя комнатами проходил не более, чем через N дверей». Какое наименьшее значение N должен назвать шах, чтобы приказ можно было выполнить?

Полные варианты с решениями



2011 год

6-4,7-2. НЕЧЕСТНЫЕ ПРЯМЫЕ.
Пусть на плоскости отмечено несколько точек. Назовем прямую нечестной, если она проходит ровно через три отмеченные точки, и по разные стороны от нее отмеченных точек не поровну. Можно ли отметить 7 точек и провести для них 5 нечестных прямых?

6-6. БОЧКА ВАРЕНЬЯ И КОРЗИНА ПЕЧЕНЬЯ.
Малыш и Карлсон съели бочку варенья и корзину печенья, начав и закончив одновременно. Сначала Малыш ел печенье, а Карлсон – варенье, потом (в какой-то момент) они поменялись. Карлсон и варенье, и печенье ел в три раза быстрее Малыша. Какую часть варенья съел Карлсон, если печенья они съели поровну?

7-5. ДВАЖДЫ ПРЯМОЙ.
В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка K и проведена биссектриса KE треугольника AKC и высота KH треугольника BKC. Оказалось,что угол EKH – прямой. Найдите BC, если HC=5.

Полные варианты с решениями



2010 год

6-3. НЕЧЁТНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ.
На рисунке справа можно найти 9 прямоугольников. Известно, что у каждого из них длина и ширина – целые. Сколько прямоугольников из этих девяти могут иметь нечетную площадь?

6-5, 7-3. ОДНОКЛАССНИКИ.
Одноклассники Аня, Боря и Вася живут на одной лестничной клетке. В школу они идут с постоянными, но разными скоростями, не оглядываясь и не дожидаясь друг друга. Но если кто-то из них успевает догонать другого, то дальше он замедляется, чтобы идти вместе с тем, кого догнал.
Однажды первой вышла Аня, вторым Боря, третьим Вася, и кто-то двое из них пришли в школу вместе. На следующий день первым вышел Вася, вторым Боря, третьей Аня. Могут ли все трое прийти в школу вместе?

7-8. СТРАННЫЙ КВАДРАТ.
Квадрат с вершинами в узлах сетки и сторонами длиной 2009, идущими по линиям сетки, разрезали по линиям сетки на несколько прямоугольников. Докажите, что среди них есть хотя бы один прямоугольник, периметр которого делится на 4.

Полные варианты с решениями