Y1. Det finns gott om lika rektanglar av kartong. Varje rektangel är av storlek a×b cm där både a och b är heltal, a<b. Det är känd att man kan sammansätta av dessa rektanglar såväl en rektangel av storlek 49×51 cm som en rektangel av storlek 99×101 cm. Kan man då entydigt bestämma a och b?[4 poäng]
Y2. Finns det en triangel som man kan skära i 4 konvexa
polygoner vilka skulle vara en triangel, en fyrhörning, en pentagon och en
hexagon?
[4 poäng]
Y3. Det är känd att för två givna positiva heltal x och y är sista siffran (slutsiffran) i talet x2+xy+y2 lika med 0. Visa att även nästsista siffran i talet x2+xy+y2 är 0. [5 poäng]
Y4. Inskrivna cirkeln till fyrhörning ABCD tangerar sidorna AB, BC, CD och DA i punkterna K, L, M resp. N. Sträckorna KM och LN skär varandra i punkten S. Det visade sig att man kan omskriva en cirkel kring fyrhörningen SKBL. Visa att man kan omskriva en cirkel även kring fyrhörningen SNDM. [5 poäng]
Y5. a) Det finns 128 mynt av två olika massor, lika många
mynt av varje massa. Man disponerar
en balansvåg utan vikter. Hur kan
man hitta två mynt som väger olika genom högst 7 vägningar? [3
poäng]
b) Det finns 8 mynt av två olika massor, lika många mynt av varje massa. Man disponerar en balansvåg utan vikter. Hur kan man hitta två mynt som väger olika genom högst 2 vägningar? [3 poäng]
Y6. Ett flygplan startade från staden A kl. 12 på dagen och landade i staden B kl. 3 eftermiddag. Vid midnatt startade planet tillbaka och landade i A kl. 6 föremiddag (alla tider är lokaltider). Flygtiden åt båda håll var densamma. Bestäm den. [1 poäng]
Y7. SAM×SA×S=2002
Varje bokstav motsvarar en siffra, olika bokstaver svarar till olika siffror, samma bokstäver – till samma siffror. Dechiffrera.
[2 poäng]
Y8. Bestäm det största möjliga antalet rektanglar av storlek 1×5 som man kan skära av en 8×8 kvadrat. (Uppvisa ett exempel och visa att det går inte att skära av ett större antal rektanglar).[2 poäng]
(Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem. Din total poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng. Poängtalen för delproblem adderas. Problemen Ä6, Ä7, Ä8 tillgodoräknas bara i tävlingen mellan eleverna och städerna i det här landet. )
Ä1. Se Y3.
Ä2. Det finns två kongruenta papperstrianglar ABC och A'B'C'. Man vänder om en av dem och lägger båda trianglarna på ett bord. Visa att mittpunkterna till sträckor AA', BB' och CC' ligger på en och samma linje. [5 poäng]
Ä3. Det finns 6 ostbitar som alla väger olika. De bitarna är även av olika storlek, så att det syns vilken bit väger störst, vilken bit väger näst störst osv. Det är känd att man kan lägga bitarna tre och tre så att treorna blir av samma vikt. Hur kan man åstadkomma detta indelningen i treor efter högst två väggningar på balansvåg utan vikter? [5 poäng]
Ä4. Man skall fylla i en rutig rektangel av format 2×50 med heltalen 1 till 100 så att på varandra följande tal alltid hamnar i rutor med en gemensam sida. På hur många sätt kan man göra det? [5 poäng]
Ä5. Finns det ett regelbundet triangulärt prisma vilket man kan täcka med olika liksidiga trianglar som inte överlappar varandra och sig själv? (Man får vika triangel över en eller flera kanter). [6 poäng]
Ä6. Man har skrivit 10 på varandra följande positiva heltal på en tavla, sedan ett av talen raderades. Summan av de kvarvarande talen är 2002. Bestäm dessa tal. [1 poäng]
Ä7. När man har dragit samtliga diagonaler i en regelbunden femhörning och suddat bort alla sidor fick man en skärnformade figur av arean 1 (se fig.). Bestäm arean av den skuggade delen. [2 poäng]
Ä8. Pippi Långstrump har en ridtur varje dag. Den 1 april sade hon sanningsenligt: ”Idag har jag avverkat en längre sträcka än i förrgår fast kortare än precis en vecka sedan.” Samma fras upprepar Pippi varje dag sedan dess. Hur många dagar i streck högst kan frasen vara sant? (Uppvisa ett exempel på dagens distanser som stödjer ditt svar och förklara varför är det omöjlig att hitta ett exempel med större antal ”sanna” dagar.) [3 poäng]