(Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem. Din total poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng. Poängtalen för delproblem adderas. Problemen Y8, Y9, Y10 tillgodoräknas bara i tävlingen mellan eleverna och städerna i det här landet. )
Y1. Talen a, b, c är sidlängderna i en triangel. Visa att a3 + b3 + 3abc > c3. [4 poäng]
Y2. Fyra pjäser placeras ut på ett schackbräde av storlek 23×23: två vita pjäser placeras i motsatta hörn på en diagonal och två svarta pjäser i motsatta hörn på den andra diagonalen. Vit och svart turas om att göra drag och vit börjar. Varje drag ska en pjäs flyttas lodrätt eller vågrätt till en intilligande ledig ruta. Vits mål är att ställa sina två pjäser bredvid varandra (det vill säga i två intilliggande rutor med en gemensam sida). Kan svart förhindra detta? [4 poäng]
Y3. I en konvex fyrhörning ABCD är sträckorna AE, AF och EF dragna, där E och F är mittpunkterna till sidorna BC resp. CD. Det visar sig att areorna av de 4 trianglarna som fyrhörningen delas in i är 4 på varandra följande heltal. Bestäm det största möjliga värdet på arean av triangeln ABD. [6 poäng]
Y4. Man ställer n lampor i rad och tänder en del av dem. Vid varje minutslag släcks de lampor som varit tända under den gångna minuten. Samtidigt tänds de lampor som var släckta, men som hade exakt en tänd granne. Bestäm alla värden på n för vilka det är möjligt att i början tända ett antal lampor på ett sådant sätt att vid varje givet tillfälle framöver kommer minst en lampa att vara tänd. [7 poäng]
Y5. Det finns en spetsig papperstriangel. Man får skära den i två delar längs en rät linje (icke-triangulära delar är också tillåtna). Sedan får man välja en av delarna och skära den längs en rät linje, sedan välja en av de tre delarna och skära den osv. Man har gjort ett antal sådana skärningar. Det visar sig att samtliga delar är triangulära. Är det möjligt att de alla är trubbiga trianglar? [7 poäng]
Y6. En strängt växande oändlig följd a1, a2, ..., an, ... består av heltal. För varje n > 2002 gäller dessutom att delsumman Sn-1 = a1 + a2 + ... + an-1 är jämnt delbart med an. Visa att det finns ett N sådant att för varje n > N är delsumman Sn-1 = an. [7 poäng]
Y7. En dominobricka består av två fält och i varje fält finns ett antal prickar. En dominokedja är en rad av dominobrickor upplagda enligt den traditionella regeln att två sammankopplade brickor har samma antal prickar på de vidrörande fälten. Vi definierar följande operation på en dominokedja: Välj en delkedja bestående av en rad hela brickor med samma antal prickar på det första och det sista fältet i delkedjan. Vänd sedan hela delkedjan som om den vore en stel käpp och sätt in den på samma plats igen.
Det finns två dominokedjor som är sammansatta av två lika uppsättningar brickor. De två kedjorna har samma antal prickar i sitt första fält och samma antal prickar i sitt sista fält. Visa att man med endast den ovanstående operationen kan omordna brickorna i den ena kedjan så att man får samma följd av fält som i den andra kedjan. [8 poäng]
Y8. På ett ark är 100 påståenden skrivna:
”Exakt 1 av påståendena på detta ark är osant”
”Exakt 2 av påståendena på detta ark är osanna”
...
”Exakt 100 av påståendena på detta ark är osanna”.
Vilka av påståendena är sanna? [1 poäng]
Y9. På en ö är 2/3 av alla kvinnor gifta samt 3/5 av alla män gifta. Bestäm andelen gifta invånare på ön. [2 poäng]
Y10. . Det finns tre kvadrater med sidorna 2, 6 respektive 9. På vilket sätt ska man skära den största kvadraten i tre delar för att sedan kunna sätta ihop de tre delarna samt de två mindre kvadraterna till en stor kvadrat? [3 poäng]
(Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem. Din total poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng. Poängtalen för delproblem adderas. Problemen Ä8, Ä9, Ä10 tillgodoräknas bara i tävlingen mellan eleverna och städerna i det här landet. )
Ä1. I en triangel ABC
är talen tanA, tanB, tanC heltal. Bestäm dessa heltal.
[4 poäng]
Ä2. Är det sant att man kan välja
en punkt A på grafen till y = x3 och en punkt B på grafen till y = x3 + |x| + 1 på så sätt att avståndet AB blir mindre än 0,01? [4 poäng]
Ä3. Se Y6.
Ä4. En grupp teaterbesökare köpte alla biljetter till
en hel rad, men satte sig sedan på måfå på den raden, på ett sätt så att
ingen hamnade på sin egen plats. Om två personer som sitter bredvid varandra båda
sitter på fel plats så kan den petige vakten komma och kräva att de ska byta
plats med varandra. När en person väl hamnat på sin rätta plats får dock
vakten inte störa honom. Är det alltid möjligt för vakten att medelst sådana
platsbyten få alla att hamna på sin egen plats? [5 poäng]
Ä5. Låt AA1, BB1, CC1 vara höjderna i en triangel ABC. Vi betecknar med OA, OB, OC medelpunkterna till de inskrivna cirklarna för
trianglarna AB1C1, BC1A1, resp. CA1B1. Låt den i triangeln ABC inskrivna cirkeln tangera sidorna BC, AC, BC i punkterna TA, TB, resp. TC. Visa att i sexhörningen TAOCTBOATCOB är alla sidorna av samma längd. [6
poäng]
Ä6. En kortlek med 52 kort är
upplagd på ett bord som ett rutnät av format 4´13. Det är känt att om
två kort ligger intill varandra (lodrätt eller vågrätt) så har de antingen
samma färg eller samma valör. Visa att i varje vågrät rad av 13 kort har
alla kort samma färg. [7 poäng]
Ä7. Finns det två irrationella tal a, b > 1 sådana att [am] är skild från [bn] för varje par av positiva heltal m och n? (med [x] menas heltalsdelen av ett tal x, det vill säga det största heltalet mindre än eller lika med x.) [8 poäng]
Ä8. Det finns en extra visare på min klocka, som alltid pekar längs en bisektris mellan timvisaren och minutvisaren. Hur många varv gör den extra visaren under ett dygn? (Klockan är en vanlig 12-timmarsklocka). [1 poäng]
Ä9. Ett schackbräde av storlek 23×23 är indelad i rektanglar som omfattar ett antal hela rutor. Visa att det finns minst en rektangel vars omkrets är jämnt delbart med 4. [2 poäng]
Ä10. . På ett vanligt schackbräde står 15 pjäser, minst 1 på varje horisontell och 1 på varje vertikal rad. Visa att det går att ta bort en pjäs så att det fortfarande finns minst 1 pjäs kvar på varje horisontell och varje vertikal rad. [3 poäng]