А.В.Шаповалов => Задачи и подборки => Геометрия
Что может быть в геометрии проще точек и прямых! Всего-то и нужно знать, что через две точки проходит единственная прямая. Никаких тебе углов, никаких равенств треугольников. То есть равенства могут быть, но они за кадром. Оказалось, что про точки и прямые можно спросить много что интересного, и условие задачи будет понятно даже шестикласснику. А вот решить такую задачу порой и десятикласснику непросто...
1. Цветные прямые
Петя нарисовал 3 красных и 3 синих прямых, и отметил те точки пересечения, через которые проходят прямые обоих цветов. Могло ли оказаться, что отмечена ровно половина точек пересечения?
2. Честные прямые
На плоскости отмечен набор из 6 точек. Назовем прямую честной, если на ней и по обе стороны от неё лежит по 2 отмеченные точки. Может ли у набора быть 6 честных прямых?
3. Нечестные прямые
На плоскости отмечено несколько точек. Назовем прямую нечестной, если она проходит ровно через три отмеченные точки, и по разные стороны от нее отмеченных точек не поровну. Можно ли отметить 7 точек и провести для них 5 нечестных прямых?
4. Главные дороги
В Бесповоротном королевстве из каждого города можно доехать до любого другого, никуда не сворачивая (но, возможно, проезжая сквозь города). Дороги могут пересекаться только в городе. Дорога считается главной, если на ней находятся все города, кроме, быть может, одного или двух. Обязательно ли в этом королевстве есть хотя бы одна главная дорога? (Дороги – это отрезки, на каждом из них может находиться по несколько городов.)
5. Параллельные отрезки
На плоскости отметили 7 точек и провели всевозможные отрезки с концами в этих точках. Оказалось, что для каждого отрезка есть ему параллельный, причем для некоторых отрезков параллельный им всего один. Обязательно ли найдутся три точки, лежащие на одной прямой?
6. Симметричны без одной
На плоскости отмечены несколько (больше трех) точек. Известно, что если выкинуть любую точку, то оставшиеся будут симметричны относительно какой-нибудь прямой. Верно ли, что все множество точек тоже симметрично относительно какой-нибудь прямой?
7. Разные расстояния
Можно ли отметить на плоскости 1001 точку так, чтобы среди расстояний от любой точки до всех остальных было ровно 999 различных?
8. Зачеркнуть почти все-1
а) Отметьте на плоскости 10 точек, которые нельзя зачеркнуть двумя прямыми, но любые 9 из этих точек двумя прямыми зачеркнуть можно.
б) Отметьте на плоскости 55 точек, которые нельзя зачеркнуть 9-ю прямыми, но любые 54 из них – можно.
9. Зачеркнуть почти все-2 (совместно с С.Г.Волченковым)
а) На плоскости отмечены 44 точки. Если выкинуть любую точку, то остальные можно зачеркнуть шестью прямыми. Докажите, что все точки можно зачеркнуть шестью прямыми.
б) 210 точек расположены на плоскости таким образом, что любые 209 из них лежат на 14 прямых. Докажите, что все точки лежат на 14 прямых.
10. Разбитые прямые
Некоторые прямые на плоскости объявили отмеченными. Оказалось, что каждую отмеченную прямую точки пересечения с остальными делят на единичные отрезки. Докажите, что среди отмеченных прямых есть параллельные.
11. Попарные пересечения
На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша разбивает точки на пары, после чего соединяет точки в каждой из пар отрезком. Всегда ли он может это сделать так, чтобы каждые два отрезка пересекались?
12. Цепочка векторов
На плоскости даны n различных точек. Докажите, что их можно так обозначить буквами A1, A2, …, An, чтобы векторы A1A2, A2A3, …, An-1An были все различны.