Руководители: Распопов Алексей Александрович, Богданова Екатерина Олеговна
Борковский Роман, Голицын Дмитрий,
Демушкин Игорь,
Евдокимов Николай,
Залесская Ольга,
Калинина Мария,
Калиниченко Алексей,
Княженко Григорий,
Кобецкий Андрей,
Мамлеева Лина,
Нгуен Туэ,
Нусратуллина Марьям,
Перунова Мария,
Разборов Андрей,
Смольский Макар
Мне помогала Екатерина Олеговна Богданова
Программа зачёта
1. Углы как узкие места в задачах на разрезание. Задача о разбиении квадрата на равнобедренные треугольники с углом 40° при вершине.
2. Подсчет сумм чисел с одинаковым шагом. Задача о замене пары нечетных чисел на сумму.
3. Сумма углов как инвариант при разбиении выпуклого многоугольника непересекающимися диагоналями. Задача о разбиении выпуклого многоугольника на четырёхугольники.
4. Метод ослабления условий при построении примеров, принципиальные и непринципиальные условия. Задача о разделении орехов на ппочти равные кучки.
5. Жадный алгоритм и его использование для оптимизации. Задача о разбиении квадрата без уголков на различные по площади прямоугольники.
6. Почти жадный алгоритм, отклонение от жадности. Задача о пути коня между углами доски 20×20.
7. Подсчет двумя способами и составление уравнений. Задача о трех олимпиадах.
8. Разбиение на группы про составлении уравнений. Задача о центральной клетке магического квадрата.
9. Неравенство целых чисел, вытекающее из делимости. Задача о наименьшей сумме цифр числа, кратного 69.
10. Усиление строго неравенства с целыми числами до нестрогого. Задача о числе острых углов в выпуклом многоугольнике.
11. Доказательство непредставимости целых чисел в заданном виде с помощью неравенств. Непредставимость точного куба в виде произведения трёх последовательных натуральных чисел.
|
Разрезания и счёт углов |
1 июля |
Разрезание, особенно не по клеткам, определяется принципиальной картинкой и углами. Связи между частями заменяются на связи между углами, а углы легко подсчитываются. | |
|
Процессы и инварианты |
2 июля |
Процесс состоит из цепочки разрешенных шагов (например, ходов). За развитием событий легче следить, если знаешь, что именно не меняется. | |
|
Ослабление условий |
3 июля |
Сложные математические примеры и контрпримеры удобнее строить в несколько шагов, проходя через одну или несколько промежуточных конструкций. Метод ослабления условий рекомендует сначала временно отказаться от части условий и построить конструкцию, где выполнены только оставшиеся условия. Но как узнать, от чего отказаться, а что оставить? Разделите условия на принципиальные и технические. От принципиальных условий отказываться нельзя: конструкция без них окажется совсем не похожей на итоговую. А вот выполнение технических условий можно обеспечить без больших переделок, за счет изобретательности. С ростом опыта обнаруживается, что все больше и больше условий оказываются техническими. | |
|
Жадный алгоритм |
4 июля |
Алгоритм – это способ достижения цели через жестко определенную последовательность шагов. Если цель – максимум какой-то величины, то ее часто достигают с помощью «жадного алгоритма», то есть добиваясь максимально возможного приращения на каждом шаге. А если цель – максимум числа шагов на фиксированном расстоянии, то жадный алгоритм советует выбирать самые короткие шаги. | |
|
Уравнение за кадром |
5 июля |
Важнее правильно составить уравнение, чем его решить.Основной приём: принять что-то (например, то, что нужно узнать) за неизвестное, выразить через него что-то двумя способами и приравнять эти два выражения. Ситуация может задаваться большим количеством чисел, и все не найдешь. Но можно найти связи между суммами в группах, и найти хотя бы эти суммы. | |
|
Целочисленные неравенства |
6 июля |
Если число лежит строго между соседними точными квадратами, то оно – не точный квадрат. То же верно и для кубов. Вообще, если f(n) – целое для натуральных n и f(1) < f(2) < ... < f(k) <..., то из неравенства f(m) < x < f(m+1) следует, что x не представимо в виде f(n). |