В потоке появляющихся книг для школьников выделяется своим непреодолимым шармом недавно опубликованная небольшая по объему книга «Вертикальная математика для всех» (далее для краткости [ВМ]), представляющая зримо продуктивный подход к обучению школьников математике. Ее авторы не провозглашают громких деклараций. Они не противопоставляют предлагаемый ими подход к обучению математике бытующим подходам, но он предстает как противостоящий им. Как же в действительности соотносятся эти подходы? Поиск ответа на этот вопрос должен сообразовываться с ведущими целями и ценностями, которым должно следовать обучение математике.
Общепризнана особая роль математики как учебного предмета, состоящая в том, что ее изучение несет развитие способностей к поисково-исследовательской деятельности. Конечно, этому способствуют и предметы гуманитарного цикла, и биология, и химия, и физика. Но обучение физике способствует освоению и развитию, прежде всего и главным образом, таких форм и способов поисково-исследовательской деятельности, которые отвечают физической проблематике. Аналогичное верно и для других учебных предметов, в том числе и для математики. Но тогда в чем же особо значимая роль математики в деле развития способностей учащихся к поисково-исследовательской деятельности?
***
Систематическая работа по формированию у школьников начальных механизмов метапредметной деятельности нуждается в разработке отвечающих ей методических средств. Речь должна идти, прежде всего, о средствах развития первомеханизмов математической деятельности как механизмов метапредметной деятельности. Представляется, что сосредоточение на метапредметной стороне дела, рассматриваемой в деятельностной форме, уход от формирования понятий, даже таких, которые представляли бы напрашивающиеся продуктивные обобщения, уход, создающий кажимость ухода от задачи формирования и развития у школьников теоретического мышления, позволяет уже на самой элементарной математической базе поистине высвечивать продуктивные формы работы названных механизмов и открывает возможность их более полнокровного освоения и развития, возможность более эффективного освоения метапредметной деятельности и посредством этого восхождения на теоретический уровень мышления и более полнокровного его освоения. Ведь только на стадии рождения интуитивной идеи, явившейся истоком «строгого» понятия, и ее первичного использования зримо предстает ее метапредметное существо. В сформированном понятии, в его превращенности в «обиходное» орудие поисково-исследовательской деятельности это существо опредмечивается и потому пребывает в скрытой форме.
В этом (и не только в этом) плане особый интерес вызывает книга [ВМ]. Педагогическое мастерство ее авторов демонстрируют и форма постановки каждой предлагаемой ими задачи, и обсуждение способов ее решения, и комплексы задач (в рамках которых даже давно вошедшие в учебный обиход задачи обретают новое качество и свежесть), и вариативность подходов к их решению, и выделяемые механизмы математической деятельности, на развитие которых направлены эти комплексы и которые предстают как механизмы метапредметной деятельности. Его демонстрирует и тот педагогический такт, с которым авторы осуществляют приобщение учащихся к метапредметному плану как бы оставаясь на предметном уровне, и характер представленной в этих книгах системности подхода к самообучению школьников.
Казалось бы, предлагаемый в [ВМ] подход к обучению математике противостоит подходу, заложенному в системе развивающего обучения Эльконина-Давыдова. Об этом, казалось бы, просто кричит уже ряд предлагаемых в этой книге задач, давно вошедших в учебный обиход. Об этом говорит и отход от направленности обучения на то, чтобы «решая <только> первую задачу данного типа, <учащиеся>, если можно так выразиться, тем самым решали все задачи этого типа», то есть от направленности «на обобщения, носящие теоретический характер». Более того, авторы книги как бы уводят учащихся даже от напрашивающихся обобщений, от их понятийного выражения. Они как бы уводят школьника от теоретического плана, от приобщения к теоретическому уровню мышления. Заметим, однако, что теоретическое мышление - это сложный комплекс, включающий в качестве своих неотъемлемых компонентов самые разные формы мышления, как «высшие», так и «низшие» Оно начинается уже на уровне образного мышления, могущего оказывать преобразующее влияние на взаимодействующие с ним «высшие» формы мышления.
Что же касается ухода авторов от направленности на развитие у учащихся способностей к обобщению «с места», то попытки развития такой способности без сообразования с возможностью осуществления «варьирования многообразий частных случаев» – это игнорирование того, что процесс овладения методом - это и процесс формирования навыка, а значит, это и рутинная работа, направленная на развитие координации действий и приводящая к скачку – продукту кристаллизации «стандартных блоков» операций и действий и их свертывания. Не менее значимо следующее: то, что нередко спешат называть варьированием многообразий частных случаев, в ситуации, когда общего еще нет и его только предстоит «открыть», является не сопоставлением наличествующего сходного, а открытием того сходного, которое несет значимую общность, и это сходное предстоит «схватить» в рациональной форме, то есть сформировать его модель в форме общего работоспособного понятия, испытать это понятие на продуктивность и в процессе испытаний сформировать его работоспособные формы. Иначе говоря, «сущность» математического понятия не «открывается», а формируется как продуктивная рациональная форма. И рассмотрение разнообразия «частных» случаев (которое нередко спешат квалифицировать как впадение в эмпирическое мышление) является необходимым средством для этого, то есть необходимым средством «открытия» содержательного обобщения. (Так что радикализм в борьбе «за светлые цели» превращает ее в борьбу с необходимыми средствами их достижения).
Упреждая возможные упреки авторам [ВМ] в архаичности ряда рассматриваемых в книге задач, заметим, что качество задачи определяется не ее формулировкой, не рассмотрением ее самой по себе, а тем контекстом, в котором она рассматривается, тем, в какой мере характер ее обсуждения отвечает преследуемым целям. Те комплексы задач, в рамках которых рассматриваются «архаичные» задачи, и характер обсуждения подходов к их решению ведут к обретению этими задачами нового качества.
В [ВМ] рассматриваются начальные блоки слабо представленного в бытующих системах обучения компонента обучения математике, долженствующего способствовать полнокровной реализации заложенного в них развивающего потенциала. Это тот компонент учебной деятельности, который направлен на развитие первомеханизмов математической деятельности как механизмов метапредметной деятельности. Сосредоточение на метапредметной стороне дела, рассматриваемой в деятельностной форме, уход от формирования понятий, которые представляли бы напрашивающиеся продуктивные обобщения, создает кажимость ухода от задачи формирования и развития у школьников теоретического мышления. Но именно этот «уход» позволяет уже на самой элементарной математической базе поистине высвечивать продуктивные формы работы названных механизмов и открывает возможность их более полнокровного освоения и развития, возможность более эффективного освоения метапредметной деятельности и посредством этого восхождения на теоретический уровень мышления и его освоения.
При всей кажимости ухода авторов книги от принципов, лежащих в основе сегодняшних подходов к развивающему обучению, от предполагаемых ими методов и целей, представляемый ими подход к обучению математике несет средства, способствующие более полнокровному достижению этих целей. Он несет значимые достижения не только собственно методического, но и методологического уровня.
Направленность обучения математике на формирование способностей учащихся к порождению знаний и проектированию новых способов их употребления требует активной работы допонятийных форм мышления, являющихся носителями эвристического потенциала. Она невозможна без активной работы эмпирического мышления (хотя бы потому, что многие общие математические понятия открываются как общие «внешние» формы способов решения тех или иных классов «разноприродных» задач). Использование его лишь как эпифеномена учебной деятельности явно недостаточно. Процесс овладения методом, как и процесс формирования навыка, – это и рутинная работа, которая, как было сказано выше, направлена на развитие координации действий. Она приводит к скачку – продукту кристаллизации «стандартных блоков» операций и действий и их свертывания, к превращению этих блоков в элементарные действия, приводящему к развитию «дальновидения» и «дальнодействия» мышления и тем способствующему овладению более сложными и более масштабными формами поиcково-исследовательской деятельности. Таким образом, и рутинная работа является необходимым компонентом, необходимым средством развития способностей к поисково-исследовательской деятельности, необходимым средством прорыва на более высокий ее уровень, необходимым средством ее преображения. И «замшелые» традиционные средства обучения, работающие в рамках многоаспектной и многуровневой учебной деятельности, преображают свой «дух» и форму работы и становятся органичными и эффективными средствами этой деятельности. Книга [ВМ] служит выразительной демонстрацией этого.
Обучение математике, способствующее формированию и развитию у школьников теоретического мышления, а значит, и способностей к метапредметной деятельности, способствует их общему интеллектуальному развитию и постольку способствует развитию способностей к порождению знаний и проектированию новых способов их употребления. Но для того, чтобы обучение не просто способствовало этому, а рождало такие способности, необходим подход к обучению, формируемый на базе радикального преодоления «великой иллюзии… - веры в рациональную природу человеческого интеллекта»1, преодоления широко распространенного предрассудка, что обучение математике – это обучение специфической «левополушарной» деятельности. Мышление – это процесс взаимодействий взаимно дополнительных механизмов. Математическая деятельность, даже элементарного уровня, отличается особой интенсивностью таких взаимодействий, взаимными превращениями «высших» и «низших» форм мышления, особым характером координаций участвующих в ней механизмов2. Таким образом, за формами и способами поисково-исследовательской деятельности, характерными для математики, скрываются и общие формы и способы поисково-исследовательской деятельности и глубокая специфика работы ее «средств производства», взаимодействия высокой рациональности и внерациональных форм мышления3. Уже начальные этапы формирования у школьников механизмов метапредметной деятельности могут и должны представлять такой подход к развитию первомеханизмов математической деятельности, который проявлял бы себя как подход, направленный и на освоение общих форм поисково-исследовательской деятельности, и на овладение спецификой работы ее «средств производства», на овладение органикой взаимодействий «высших» и «низших», рациональных и внерациональных форм мышления. По сути, такой подход представлен в [ВМ]. Этому посвящены и книги А.В.Шаповалова «Как построить пример» и «Принцип узких мест». Cтилистическое единство этих трех книг, их высокий методический уровень, их общая направленность делают их единым комплексом. Они будут весьма полезны и учителям математики, и учителям начальной школы, и, конечно, учащимся основной школы. Они будут полезны и специалистам в области теории и методики обучения математики.