Двадцать вторая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена занятиям по геометрии со школьниками 7 класса. В неё вошли разработки восьми занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для преподавателя.
Значительный объём книжки занимает список дополнительных задач, их решения и комментарии. Приведён список использованной литературы, а также указаны авторы задач. Для удобства использования заключительная часть книжки, как всегда, сделана в виде раздаточных материалов.
Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям элементарной геометрии.
Скачать Демо-версию книги (pdf)
Вторая часть книги «Геометрия для 7 класса ...» также содержит восемь занятий, как и первая, но тематика этих занятий – не вполне обычная. Решение задач занятий 9 – 12 даст возможность школьникам закрепить навыки, полученные при освоении традиционных тем в различных геометрических конструкциях, которые практически отсутствуют в стандартных школьных учебниках. Занятия 13 – 16 посвящены темам, которые не всегда включены в программу 7 класса, но, по нашему убеждению, должны там быть, несмотря на то, что их изучение может вызывать некоторые трудности. Так как они помещены в конце книги, то, в зависимости от уровня технической или логической подготовки учащихся, их изучения можно перенести в 8 класс (по усмотрению преподавателя).
При этом, и во второй части книги отсутствуют занятия, связанные с окружностью (за исключением использования её определения как геометрического места точек), так как в большинстве случаев этот материал не входит в программу 7 класса. Кроме того, задачам, связанным с окружностями посвящена семнадцатая книжка серии «Вписанные углы» (авторы – Ю. Блинков и Е. Горская), первые два занятия которой можно, при желании, использовать для работы с семиклассниками. Отсутствуют и экстремальные задачи, хотя некоторые из них доступны семиклассникам, так как таким задачам планируется посвятить отдельную книжку.
По-прежнему, в материалы каждого занятия входят: вступительный и поясняющий текст учителя, включающий в себя: несколько подробно разобранных типовых задач по теме; упражнения и задачи, которые могут быть предложены учащимся для самостоятельного решения (как на занятии, так и дома); подробные решения этих задач; методические комментарии для учителя (в том числе, и в начале занятия, поясняющие основное содержание и цели занятия, и содержащие перечень необходимых предварительных сведений).
Отдельным списком представлены дополнительные задачи различного уровня трудности, часть из которых в какой-то степени дублирует задачи, предложенные для занятий, а часть – дополняет их новыми идеями (наиболее сложные задачи отмечены знаком *). Эти задачи можно использовать на усмотрение преподавателя (или обучающегося). Для них также приведены подробные решения. Для удобства, в конце каждого занятия приведен список задач из этого раздела, которые имеет смысл использовать для закрепления материала, контроля его освоения и углубления. Следует учесть, что есть задачи, которые могут быть отнесены к нескольким занятиям (в том числе, из разных частей книги).
Краткое содержание и цели занятий.
Занятие 9. Разобьем на равнобедренные треугольники. Большая часть задач, предлагаемых на этом занятии, лежит на стыке классической и комбинаторной геометрии. Разбор и решение этих задач послужит формированию у школьников комбинаторного мышления при рассмотрении несложных геометрических конструкций. Помимо этого, приобретаются навыки простейших оценок на основании теорем о сумме углов и внешнем угле треугольника. Отдельное внимание уделяется умению строить примеры и контрпримеры, продолжая «линию» прошлого занятия. Для решения предложенных задач достаточно знаний, умений и навыков, полученных на предыдущих занятиях, в частности, умения считать углы и применять свойства и признаки равнобедренного и прямоугольного треугольников.
Занятие 10. Геометрия на клетчатой бумаге. Основная идея этого занятия – применение накопленных навыков и умений в нестандартной ситуации. Решение и разбор задач этого занятия призван не только закрепить эти навыки, но и направлен на развитие геометрического воображения школьников. Основное внимание уделено построениям на клетчатой бумаге и их обоснованиям, а также вычислению углов и сумм углов. При желании занятие можно дополнить упражнениями на вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге, а также задачами на треугольной сетке (из раздела дополнительных задач).
Занятие 11. Перегибая бумагу, получаем задачу. Это занятие так же, как и предыдущее, ориентировано на применение накопленных навыков и умений в нестандартных ситуациях. Основу занятия составляют задачи, возникающие при перегибании листа бумаги. Они привлекательны своей естественностью и давно вошли в практику различных математических олимпиад, причем это задачи и на построение, и на доказательство, и на вычисление. Решение и разбор таких задач позволяет также закрепить наглядные представления о фигурах, симметричных относительно прямой, и показать возможность применения симметрии для строгих рассуждений.
Занятие 12. Квадраты. Посвящено задачам, в которых используются простейшие свойства квадрата. Наличие квадратов в условиях задач даёт возможность повторить и закрепить навыки, выработанные на предыдущих занятиях: применение свойств равнобедренных и прямоугольных треугольников и параллельности; использование дополнительных построений, в частности, симметрии для получения равных треугольников или для счёта углов. В ряде задач рассматривается комбинации квадратов с равнобедренными или равносторонними треугольниками, что позволяет не только повторить некоторые уже встречавшиеся приёмы, но и познакомить школьников с новым методом решения задач, который принято называть «обратным ходом».
Занятие 13. Неравенство треугольника. Основная цель этого занятия – научить школьников применять неравенство треугольника в различных геометрических конструкциях. Рассматриваются как задачи с числовыми данными, так и доказательство неравенств общего вида. Решение некоторых задач даёт возможность вновь обратиться к типовым дополнительным построениям, которые встречались на предыдущих занятиях. Кроме того, разбор и решение предлагаемых задач позволяет отработать элементарные алгебраические навыки работы с неравенствами.
Занятие 14. Соответствия между длинами сторон и величинами углов треугольника. Основное содержание этого занятия – задачи, для решения которых применяются простейшие соотношения между сторонами и углами треугольника: напротив большей стороны треугольника лежит больший угол и утверждение, обратное этому. Так как в школьных учебниках эти факты, как правило, не выделяются, то в начале занятия приведено их доказательство. Помимо прочего, освоение предложенного материала позволяет повторить важное следствие из теоремы о внешнем угле треугольника, а также строго доказать неравенство треугольника.
Занятие 15. Геометрические места точек. Приоритетная цель этого занятия – повторить основные геометрические места точек на плоскости и научиться с их помощью решать задачи на поиск других геометрических мест точек. Отдельное внимание уделено двум возможным типам рассуждений при решении таких задач: доказательству взаимно обратных утверждений и построению цепочки равносильных утверждений. Некоторые задачи этого занятия дают возможность для повторения свойств и признаков равнобедренного и прямоугольного треугольников и материала занятия 14, а другие позволяют, при желании, обоснованно ввести понятия описанной, вписанной и вневписанных окружностей для треугольника.
Занятие 16. Применение геометрических мест точек. Содержание этого занятия – задачи, для решения которых используются серединный перпендикуляр к отрезку и биссектриса угла в качестве геометрических мест точек. В отличие от задач занятия 15, в условиях задач не используется словосочетание ГМТ. Отдельная цель – приобретение учащимися навыков точных и грамотных ссылок на используемые геометрические места точек в процессе обсуждении решений. Кроме того, некоторые задачи этого занятия дают возможность рассмотреть геометрические конструкции, которые ранее почти не встречались.
По традиции, в конце книжки все занятия представлены в виде дидактических материалов. Понятно, что преподаватель математического кружка (или учитель на уроках и факультативных занятиях) может по своему усмотрению использовать только часть предложенных занятий, использовать эти занятия для более старших или более младших школьников, поменять порядок их изучения, и т. д.
Выражаю благодарность всем авторам книг и статей, указанных в списке использованной литературы, а также авторам всех использованных в книжке задач (многих из которых установить, к сожалению, не удалось).
Автор благодарен Ю.А. Блинкову, М.А. Волчкевичу и Д.В. Прокопенко, в чьих материалов были найдены некоторые задачи, а также всем школьникам, на занятиях с которыми этот материал был апробирован и «протестирован»
Кроме того, Ю. Блинков, будучи редактором книги, оказал существенное влияние на идеологию, компоновку материалов и улучшение текста. Ряд важных замечаний от редактора серии А.В. Шаповалова также способствовало улучшению текста книги. Отдельная благодарность В. Шувалову за профессиональную верстку и выполнение чертежей.