Семнадцатая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена геометрическим задачам и конструкциям, связанным со вписанными углами. Книжка предназначена для занятий со школьниками 7-11 классов. В неё вошли разработки десяти занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. В приложении приведён большой список дополнительных задач различного уровня трудности. Отдельная часть этого раздела посвящена понятию антипараллельности. Для удобства использования заключительная часть книжки сделана в виде раздаточных материалов. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям элементарной геометрии.
Скачать Демо-версию книги (pdf)
Купить электронную версию книги на litres.ru
Вписанные углы, по мнению авторов, являются одной из самых интересных тем из курса школьной геометрии. Они создают богатейшие возможности по выявлению равенств и соотношений между углами, поднимают на новый уровень работу с ГМТ и задачами на построение. Отметим, что задачи по этой теме присутствуют в задачниках В.В.Прасолова, И.Ф.Шарыгина, Р.К.Гордина, Я.П.Понарина и т. д., но на теорию и методические аспекты обучения данной теме обращено, на наш взгляд, недостаточно внимания. В данной книге мы постараемся частично восполнить этот пробел.
В брошюре содержатся: 10 занятий геометрического кружка; приложение, в котором рассматривается важное понятие антипараллельности, помогающее при решении многих задач, связанных со вписанными углами; дополнительные задачи и раздаточный материал к каждому занятию.
Каждое занятие книги представляет собой вариант кружка на соответствующую тему и состоит из теоретического материала, комментариев для учителя, примеров задач, которые, на наш взгляд, стоит разобрать в начале кружка, и задач для решения. При этом, разбирать ли теоретический материал, добавлять или убирать задачи – всё остаётся на усмотрение учителя. Некоторые занятия по объему материала достаточно велики и, возможно, удобно будет их разбить на несколько занятий кружка. Мы этого не делали, чтобы сохранить целостность подачи материала.
Отметим, что в книге содержатся занятия двух типов.
Первый тип – занятия на определённый факт или метод. К ним относятся занятия 1, 2, 3, 4, 5 и 7. Второй тип занятий – на определенную геометрическую конструкцию. К ним относятся занятия 6, 8–10. Отметим, что, по мнению авторов, после того как учащиеся овладели основными методами и фактами полезно показывать их применение в различных геометрических конструкциях.
Также полезно предлагать учащимся «серии» задач, то есть в одной геометрической конструкции из одной задачи следует другая, постепенно усложняя уровень задач. Примерами подобных занятий можно считать занятия 9 («Две окружности») и 10 («точка Микеля»).
В конце занятия приведён список задач, которые также можно использовать на занятии (из раздела «Дополнительные задачи»). При этом одна и та же задача может быть указана в разных занятиях. В некоторых случаях это означает, что её решение может потребовать знания материала из нескольких занятий. Для того, чтобы облегчить выбор учителю, в конце книги приведён рубрикатор задач, в котором про каждую дополнительную задачу указано, к каким занятиям её можно отнести. Более того, возвращаться к одной и той же задаче в различных геометрических конструкциях авторы считают полезным для закрепления и глубокого понимания материала.
Мы включили в этот раздел много несложных задач, поскольку одной из целей брошюры является возможность обучения данной теме «с нуля».
Те же, кто более опытен, также могут найти себе задачи по уровню. Некоторые задачи весьма трудны и взяты из материалов олимпиад самого высокого уровня. Наиболее, на наш взгляд, сложные задачи отмечены знаком «*».
Отметим также, что некоторые задачи можно решать и без использования вписанных углов, но, исходя из тематики данной книги, мы эти решения не приводим.
К дополнительным задачам мы приводим только указания, причём в основном это не краткие решения, а комментарий, с какой геометрической конструкцией связана данная задача и какие факты из занятий можно применить.
Если материал из соответствующего занятия усвоен, то этого должно хватить для того, чтобы довести решение до конца. Если не получается – ничего страшного, можно ещё раз вернуться к занятию на эту тему, а задачу порешать позже.
Полные же решения почти всех задач можно легко найти на сайте problems.ru. В рамках данной книги мы решили ограничиться десятью занятиями, однако, если использовать дополнительные задачи, то можно провести еще несколько занятий, например: «Угол между радиусом и стороной», «Середины дуг», «Ортоцентр и угол 60°», «Вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями», «Прямая Симсона в задачах».
Отметим также, что в решениях задач мы не используем ориентированные углы, так как наша книга адресована широкому кругу читателей и мы готовы пожертвовать строгостью ради большей доступности изложения. Тем не менее, в некоторых задачах мы упоминаем про другие случаи расположения точек и приводим соответствующие рисунки, предлагая восстановить доказательство для этого случая (см. например, см. занятие 9).
Некоторые «классические» вещи не вошли в эту книгу. Например, свойства прямой Уоллеса-Симсона и задачи с ней связанные заслуживают отдельного занятия (возможно, и не одного). То же самое относится к окружностям Эйлера, Конвея и Тэйлора, о которых мы упоминаем «вскользь». Задачи на эти темы и более подробное исследование даных объектов можно найти в задачнике В.В.Прасолова и в статьях на сайте geometry.ru. Наша же цель была не пытаться объять всё, а подробно разобрать основные факты и идеи, которые встречаются при решении классических задач. Тем же обусловлен и выбор задач для самостоятельного решения (дополнительных задач).
Многие занятия данной книги возникли в результате обсуждений, обмена мнениями и материалами с А.Д.Блинковым, Д.В.Прокопенко, Д.В.Швецовым, за что авторы им очень благодарны.
Более того, часть задач на темы «Угол между радиусом и стороной» и «Прямая Симсона в задачах» были взяты из соответствующих занятий Д.Швецова, идея рассмотрения конструкции из двух окружностей (занятие 9) предложена Д.В.Прокопенко, а некоторые задачи на вспомогательную окружность (занятие 4) – А.Д.Блинковым.
Отдельная благодарность – А.В.Шаповалову и А.Д.Блинкову: за полезные обсуждения, внимательное прочтение книги и исправление ошибок и опечаток. Мы не приводим авторов задач, за что заранее просим извинить. В большинстве случаев это задачи, давно ставшие классикой, и задачи олимпиад различного уровня, которые нам нравятся и соответствуют целям и задачам этой брошюры.