Двадцать вторая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена занятиям по геометрии со школьниками 7 класса. В неё вошли разработки восьми занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для преподавателя.
Значительный объём книжки занимает список дополнительных задач, их решения и комментарии. Приведён список использованной литературы, а также указаны авторы задач. Для удобства использования заключительная часть книжки, как всегда, сделана в виде раздаточных материалов.
Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям элементарной геометрии.
Скачать Демо-версию книги (pdf)
Эта книга серии «Математические кружки» – не совсем обычная. В отличие от большинства книжек этой серии, она ориентирована только на школьников одной параллели. Её издание – это попытка решить проблему проведения кружков (факультативов, элективных курсов) по геометрии в 7 классе, ориентируясь на постепенное освоение учащимися минимума сведений общеобразовательной школьной программы. При этом, учтено разнообразие базовых школьных программ и учебников, что, в частности, объясняет отсутствие занятий, связанных с окружностью (за исключением использования её определения как геометрического места точек). Кроме того, задачам, связанным с окружностями посвящена семнадцатая книжка серии «Вписанные углы» (авторы – Ю. Блинков и Е. Горская), первые два занятия которой можно, при желании, использовать для работы с семиклассниками. Не включены также и геометрические задачи на построение, так как им также посвящена отдельная книжка серии «Геометрические задачи на построение» (авторы – А. Блинков и Ю. Блинков), из которой можно также использовать первые два занятия. Отсутствуют и экстремальные задачи, хотя некоторые из них доступны семиклассникам, так как таким задачам планируется посвятить отдельную книжку.
Тем не менее, объём представленного материала оказался настолько большим, что впервые в серии книжка состоит из двух частей, издаваемых отдельно. Каждая из частей содержит восемь занятий. Тематика занятий первой части – традиционная, их последовательность соответствует порядку изучения тем в школьной программе. Исключением может являться только занятие 8, так как «полупризнак» равенства треугольников не рассматривается в большинстве школьных учебников. Тематика занятий второй части – не вполне обычная. Решение задач занятий 9 – 12 даст возможность школьникам закрепить навыки, полученные при освоении традиционных тем, в различных геометрических конструкциях, которые практически отсутствуют в стандартных школьных учебниках. Занятия 13 – 16 посвящены темам, которые не всегда включены в программу 7 класса, но, по нашему убеждению, должны там быть, несмотря на то, что их изучение может вызывать некоторые трудности. Так как они помещены в конце книги, то, в зависимости от уровня технической или логической подготовки учащихся, их изучения можно перенести в 8 класс (по усмотрению преподавателя).
В материалы каждого занятия входят: вступительный и поясняющий текст учителя, включающий в себя: несколько подробно разобранных типовых задач по теме; упражнения и задачи, которые могут быть предложены учащимся для самостоятельного решения (как на занятии, так и дома); подробные решения этих задач; методические комментарии для учителя (в том числе, и в начале занятия, поясняющие основное содержание и цели занятия, и содержащее перечень необходимых предварительных сведений). Еще раз отметим, что разбиение на занятия максимально учитывает наличие или отсутствие сведений, которые учащиеся имеют на тот или иной момент в соответствии со школьной программой, но в некоторых случаях даются комментарии для «продвинутых» школьников, которые обладают знаниями сверх базовой школьной программы.
Отдельным списком представлены дополнительные задачи различного уровня трудности, часть из которых в какой-то степени дублирует задачи, предложенные для занятий, а часть – дополняет их новыми идеями (наиболее сложные задачи отмечены знаком *). Эти задачи можно использовать на усмотрение преподавателя (или обучающегося). Для них также приведены подробные решения. Для удобства, в конце каждого занятия приведен список задач из этого раздела, которые имеет смысл использовать для закрепления материала, контроля его освоения и углубления. Следует учесть, что есть задачи, которые могут быть отнесены к нескольким занятиям (в том числе, из разных частей книги).
Краткое содержание и цели занятий.
Занятие 1. Равенство треугольников и равнобедренный треугольник_1. Посвящено решению задач на применение признаков равенства треугольников, свойств и признаков равнобедренного треугольника. Основная цель – приобретение школьниками навыков распознавания равных треугольников в простых геометрических конструкциях и обоснования этих равенств. Решение задач не требует дополнительных построений. Для их решения не потребуется использовать теоремы о сумме углов и внешнем угле треугольника.
Занятие 2. Равенство треугольников и равнобедренный треугольник_2. Рассматриваются более сложные задачи, для решения которых применяются признаки равенства треугольников, а также свойства и признаки равнобедренного треугольника. Для их решения, потребуются дополнительные построения, либо исходная конструкция такова, что увидеть равные треугольники весьма непросто. Некоторые дополнительные построения являются «типовыми», то есть применяются для решения многих задач (не только представленных на этом занятии). Отдельное внимание уделено построению примеров и контрпримеров к утверждениям, связанным с равенством треугольников. По-прежнему, для освоения материала занятия не потребуется знания теорем, связанных с суммой углов треугольника.
Занятие 3. Параллельность и сумма углов треугольника. Посвящено задачам, для решения которых требуется применить свойства параллельных прямых или теорему о сумме углов треугольника. Присутствуют задачи как на непосредственный счёт углов, заданных числами, так и задачи, в которых для вычисления углов требуется составить простые уравнения. Также есть задачи, в которых вычисление углов позволяет доказать равенство треугольников, равнобедренность треугольника или найти соотношение между линейными элементами треугольника. Некоторые задачи также дают возможность повторить типовые дополнительные построения, рассмотренные в занятии 2, в частности, «удвоение» медианы.
Занятие 4. Внешний угол треугольника. На этом занятии продолжается отработка навыков счёта углов и применение теорем о параллельности прямых и сумме углов треугольника. При этом, в ряде задач уже потребуется работа с углами, обозначенными буквенными выражениями. Отдельная цель – приучить школьников эффективно использовать теорему о внешнем угле треугольника для решения задач. Это представляется весьма важным, так как многие учащиеся редко используют эту теорему, предпочитая каждый раз пользоваться суммой углов треугольника, что часто делает решение более громоздким.
Занятие 5. Прямоугольный треугольник_1. Основное содержание этого занятия – применение свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и обратного утверждения, которое является признаком прямоугольного треугольника. Так как в большинстве базовых школьных учебников эти факты не выделены в качестве теорем, то они формулируются и доказываются. В процессе решения ряда задач потребуется счёт углов, что даст возможность повторить применение теорем о внешнем угле и сумме углов треугольника. Кроме того, во многих случаях будут рассматриваться равнобедренные треугольники и это даст возможность повторить их свойства и признаки.
Занятие 6. Прямоугольный треугольник_2. На этом занятии основное внимание уделено применению свойства прямоугольного треугольника с углом 30° и утверждения, ему обратного. Кроме того, решение некоторых задач потребует применения признаков равенства прямоугольных треугольников. Этому уделено отдельное внимание, так как учащиеся не всегда распознают возможность их применения в конкретных геометрических конструкциях. Кроме того, на этом занятии сформулированы и доказаны свойство и признак биссектрисы угла, которые будут неоднократно использованы впоследствии.
Занятие 7. Равносторонний треугольник. Основное содержание этого занятия – решение задач, связанных с равносторонним треугольником. При этом, существенным образом используется, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. В частности, по ходу решения многих задач будет возникать равнобедренный треугольник, в котором один из углов равен 60°, откуда и будет следовать, что этот треугольник – равносторонний (признак равностороннего треугольника). Помимо этого, материал занятия дает возможность закрепить навыки, полученные на предыдущих занятиях: применения признаков равенства треугольников, свойств и признаков параллельности, свойств и признаков равнобедренного треугольника, свойств прямоугольного треугольника, и пр.
Занятие 8. Еще раз о равенстве треугольников. Основные цели этого занятия: 1) познакомиться с четвертым признаком равенства треугольников (его еще называют «полупризнаком» равенства треугольников) и научиться применять его при решении задач; 2) научиться различать верные и неверные утверждения, связанным с равенствами треугольников, и строить контрпримеры к правдоподобным, но неверным утверждениям. Кроме того, решение некоторых задач позволит вновь повторить типовые дополнительные построения. Материал этого занятия тесно связан с некоторыми задачами на построение, в частности, с построением треугольника по двум сторонам и углу, лежащему напротив одной из них.
По традиции, в конце каждой части все занятия представлены в виде дидактических материалов. Понятно, что преподаватель математического кружка (или учитель на уроках или факультативных занятиях) может по своему усмотрению использовать только часть предложенных занятий, поменять порядок их изучения, и т. д.
Выражаю благодарность всем авторам книг и статей, указанных в списке литературы, который помещен в конце книги, а также авторам всех использованных задач (многих из которых установить, к сожалению, не удалось).
Автор благодарен А. Антропову, Ю. Блинкову и Д. Прокопенко, из чьих материалов были позаимствованы некоторые задачи, а также всем школьникам, на занятиях с которыми этот материал был апробирован и «протестирован». Кроме того, Ю. Блинков будучи редактором книги, оказал существенное влияние на улучшение ее текста. Отдельная благодарность В. Шувалову за профессиональную верстку и выполнение чертежей.