Автор: А.Д.БлинковИздательство: МЦНМО
Автор: А.Д.Блинков
Пятнадцатая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена геометрическим методам решения различных задач и предназначена для занятий со школьниками 6—11 классов. В неё вошли разработки девяти занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя.
В конце книги приведены дополнительные задачи и их решения, обширный список использованной литературы, а также список источников, содержащих более сложный материал.
Для удобства использования заключительная часть книжки, как всегда, сделана в виде раздаточных материалов. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям математики.
Для удобства использования заключительная часть книжки сделана в виде раздаточных материалов. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям логики.
Скачать Демо-версию 1-й и 2-й главы (pdf)
Купить бумажную версию (90 руб) в магазине Математическая книга
Купить электронную версию книги на litres.ru
Обратиться к заявленной теме автора побудила не только любовь к школьной геометрии и наличие давно собираемой большой коллекции задач, допускающих геометрические методы решения (часть из которых были мне известны еще до того, как они были опубликованы в тех или иных книгах для учителя). Исходя из многолетнего опыта работы со школьниками, отмечу, что многие школьники воспринимают школьные курсы алгебры и геометрии (а впоследствии и раздел тригонометрии) как совершенно независимые, в то время как они (и не только они) являются частью одной науки – математики. Вместе с тем, наиболее красивые, а часто и наиболее рациональные решения многих задач возникают, если привлекать для решения методы из других разделов математики. В частности, очень мощным является «геометрический подход» к решению некоторых задач, условие которых сформулировано на языке арифметики, алгебры, комбинаторики, тригонометрии или математического анализа. Это объясняется прежде всего тем, что геометрия – наиболее наглядный раздел математики. Использование геометрических способов решения задач в каком-то смысле «возвращает» нас к математикам древности, которые большинство математических объектов и операций воспринимали с точки зрения геометрии.
В этой книжке серии «Школьные математические кружки», посвященной геометрическому решению негеометрических задач, сделана попытка продемонстрировать, каким образом можно перевести условие задачи на язык геометрии, после чего показать красоту и эффективность геометрического метода ее решения. Книжка содержит девять занятий математического кружка. В материалы каждого занятия входят: вступительный и поясняющий текст учителя, включающий в себя: несколько подробно разобранных типовых задач по теме; упражнения и задачи, которые могут быть предложены учащимся для самостоятельного решения (как на занятии, так и дома); подробные решения этих задач; методические комментарии для учителя. Многие из предлагаемых задач имеют и другие, не геометрические решения, которые сознательно оставлены «за рамками» этого издания.
В разделе приложений представлены дополнительные задачи различного уровня трудности, часть из которых в какой-то степени дублирует задачи, предложенные для занятий, а часть – дополняет их новыми идеями (наиболее сложные задачи отмечены знаком *). Эти задачи можно использовать на усмотрение преподавателя (или обучающегося). Для них также, как правило, приведены подробные решения (в наиболее простых случаях – ответы и указания). Для удобства, в конце каждого занятия приведен список задач из этого раздела, которые имеет смысл использовать для закрепления материала, контроля его освоения и углубления. Следует учесть, что есть задачи, которые отнесены к нескольким занятиям (поскольку допускают различные подходы). Несколько задач (Д58 – Д60 и, в какой-то мере, Д56 и Д57) трудно отнести к какому-то из занятий, но их решение позволяет расширить область применения геометрических методов. В этом же разделе помещен список литературы и список авторов задач.
Разбиение материала на занятия носит, в какой-то степени, условный характер: в одних случаях тема занятия соответствует тому или иному разделу математики, а в других случаях – отражает тот или иной «подход» к решению задач.
Отметим, что рамками книжки остались задачи на геометрическое суммирование, а также геометрический подход к задачам на переливание, так как и тот, и другой материал многократно и достаточно полно излагается в других источниках. Кроме того, в нее не включен раздел, связанный с геометрическими иллюстрациями к доказательству ряда простых алгебраических соотношений и к реализации некоторых числовых алгоритмов.
Читатели, которых заинтересует этот и сопутствующий ему материал, могут найти его в источниках, указанных во второй части списка литературы (раздел «Дополнительная литература»).
Приведем краткое содержание занятий.
Занятие 1. Расстояния на прямой и не только. Занятие доступно учащимся 6 – 7 классов. Посвящено геометрическому подходу к алгебраическим и комбинаторным задачам, связанным с модулем числа.
Занятие 2. Расстояния на координатной плоскости. Занятие ориентировано на учащихся 8 – 9 классов. Посвящено использованию декартовой системы координат для решения некоторых уравнений, систем уравнений, задач на наибольшее и наименьшее значения. Идейно продолжает «линию», намеченную в занятии 1.
Занятие 3. Задачи на движение. Занятие ориентировано на учащихся 8 – 9 классов. Посвящено графическим и геометрическим методам решения текстовых задач, связанных, как правило, с равномерным движением нескольких объектов.
Занятие 4. Используем метрические теоремы геометрии. Занятие ориентировано на учащихся 9 классов. Посвящено решению уравнений, систем уравнений и задач на наибольшее и наименьшее значения с помощью теоремы Пифагора, теорем синусов и косинусов, формул для вычисления площадей.
Занятие 5. Тригонометрия. Занятие ориентировано на учащихся 9 – 10 классов. Рассматриваются тригонометрические формулы, тождества и неравенства, которые можно доказать геометрическими методами. С помощью геометрии вычисляются значения ряда тригонометрических выражений.
Занятие 6. Используем векторы. Занятие ориентировано на учащихся 9 – 10 классов. Посвящено применению векторов на плоскости к решению ряда задач, которые традиционно относят к алгебраическим или тригонометрическим.
Занятие 7. Обратные тригонометрические функции. Занятие ориентировано на учащихся 10 классов. Рассматриваются геометрические методы вычислений значения выражений, доказательства тождеств и решения уравнений, связанных с обратными тригонометрическими функциями.
Занятие 8. Расстояния и векторы в пространстве. Занятие ориентировано на учащихся 10 – 11 классов. Посвящено различным задачам, условие которых можно интерпретировать с помощью расстояний в декартовой системе координат в пространстве, а также задачам, решение которых эффективно использует векторы в пространстве. Продолжает «линии», намеченные в занятиях 2 и 6.
Занятие 9. Геометрический смысл интеграла. Занятие ориентировано на учащихся 11 классов. Рассматриваются геометрические методы вычисления определенных интегралов, геометрические интерпретации некоторых свойств определенных интегралов и другие задачи, связанные с интегралами и допускающие геометрический подход.
Понятно, что преподаватель математического кружка (или учитель на уроках и факультативных занятиях) может по своему усмотрению использовать только часть предложенных занятий, использовать эти занятия для более старших школьников, поменять порядок их изучения, и т. д.
Выражаю благодарность всем авторам книг и статей, указанных в списке использованной литературы, а также авторам всех использованных в книжке задач (многих из которых установить, к сожалению, не удалось). Отдельно хочется отметить книги [6] ? [12] (нумерация дана по списку использованной литературы), в которых есть большие подборки задач по данной тематике.
Автор благодарен А.В. Шаповалову, оказавшему существенное влияние на концепцию книги и на улучшение ее текста, Е.С. Горской за профессиональную верстку и выполнение чертежей, Е. Акилбаевой и Е. Бакаеву, которые пополнили имеющуюся коллекцию задач, Ю.А. Блинкову и А.И. Сгибневу за полезные обсуждения, а также всем школьникам, на занятиях с которыми этот материал был апробирован и «протестирован».
Список использованной литературы и веб-ресурсов
1. Н.Х. Агаханов и др. Всероссийские олимпиады школьников по математике. 1993 – 2006. Окружной и финальный этапы. – М.: МЦНМО, 2007.
2. Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. – М.: МЦНМО, 2002.
3. А.Д. Блинков. Расстояния на прямой и не только. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», №3/2012.
4. В.О. Бугаенко. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. – М.: МЦНМО-ЧеРо. 1998.
5. Г.А. Гальперин, А.К. Толпыго. Московские математические олимпиады. – М.: «Просвещение», 1986.
6. Г.З. Генкин. Геометрические решения негеометрических задач: книга для учителя. – М.: Просвещение, 2007.
7. Р.К. Гордин. Геометрия. Планиметрия. 7 – 9 классы. – М.: МЦНМО, 2004.
8. А.В. Жуков, П.И. Самовол, М.В. Аппельбаум. Элегантная математика. – М.: URSS, 2005.
9. А.П. Карп. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Учебное пособие. – М.: Просвещение, 1995.
10. И.А. Кушнир. Геометрия на баррикадах 2. – Киев, «Знания Украины», 2011.
11. Материалы Всероссийских олимпиад школьников по математике 2009/10 уч. года.
12. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач. – Киев, Агрофирма «Александрия», 1993.
13. Московские математические регаты / Сост. А.Д. Блинков, Е.С. Горская, В.М. Гуровиц. – М.: МЦНМО, 2007.
14. LXXVI Московская математическая олимпиада. Задачи и решения / коллектив авторов. – М.: МЦНМО, 2013.
15. Л.Ф. Пичурин. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7 – 9 классов средней школы. – М.: «Просвещение», 1992.
16. В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Учебное пособие. – М.: МЦНМО, 2007.
17. А.И. Сгибнев. Геометрия помогает алгебре. Приложение «Математика» к газете «Первое сентября», №20/2008.
18. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б. Гашков. Примени математику. – М.: «Наука», 1989.
19. Л.Б. Слуцкий. Алгебра и геометрия «в одной тарелке» / Научно-методический сборник «Архимед», выпуск 3. – М.: ИЛКиРЛ, 2007.
20. Творческие конкурсы учителей математики / Сост. А.Д. Блинков, Е.С. Горская, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2008.
21. В.В. Ткачук. Математика – абитуриенту. – М.: «Теис», 1995.
22. В.А. Уфнаровский. Математический аквариум. – М.: МЦНМО, 2010.
23. Г.Б. Филипповский. Авторская школьная геометрия. («Библиотека Русановского лицея») – Киев, 2013.
24. Р. Хонсбергер. Математические изюминки. – М.: «Наука», 1992, Библиотечка «Квант», выпуск 83.
25. А.В. Шаповалов, Л.Э. Медников. XVII турнир математических боев имени А.П. Савина. – М.: МЦНМО, 2012.
26. И.Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии. Планиметрия. – М.: «Наука», 1982.
27. И.Ф. Шарыгин. Математический винегрет. – М.: «Мир», 2002.
28. Г. Штейнгауз. Математический калейдоскоп. – М.: «Наука», 1981, Библиотечка «Квант», выпуск 8.
29. Э.Я. Ясиновый. Геометрия помогает решать уравнения. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», №12/1984.
30. http://www.mccme.ru/oluch – Творческие конкурсы учителей математики
31. http://olympiads.mccme.ru/regata – Математические регаты
32. http://www.problems.ru – База задач по математике.
Дополнительная литература
1. И.В. Артамкин, А.Л. Городенцев, А.Г. Кулаков, М.А. Прохоров, С.М. Хорошкин, А.В. Хохлов. Числа и суммы. Журнал «Математическое образование», №2-3 (9-10), апрель – сентябрь 1999.
2. А.Д. Бендукидзе. Фигурные числа. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», №6/1974.
3. А.Д. Блинков. Вычисление некоторых конечных сумм. Научно-практический журнал «Математика для школьников», №4/2008.
4. А.Д. Блинков. Числовые средние в арифметике и геометрии. («Школьные математические кружки»). – М.: МЦНМО, 2012.
5. А.Д. Блинков. Геометрические идеи в решениях негеометрических задач. «Математика» (методический журнал для учителей математики), №№9 – 11/2014.
6. Н.Б. Васильев, В.Л. Гутенмахер, Ж.М. Раббот, А.Л. Тоом. Заочные математические олимпиады. – М.: «Наука», 1987.
7. Г.А. Гальперин, Н.А. Земляков. Математические бильярды. Бильярдные траектории и смежные вопросы математики и механики. – М.: «Наука», 1990, Библиотечка «Квант», выпуск 77.
8. И.М. Гельфанд, Е.Г. Глаголева, А.А. Кириллов. Метод координат. – М.: «Наука», 1973.
9. И.М. Гельфанд, А.Х. Шень. Алгебра. – М.: МЦНМО, 2009.
10. Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах. – М.: «Наука», 1974.
11. Д.В. Клименченко. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5 – 6 классов средней школы. – М.: «Просвещение», 1992.
12. Г.А. Мерзон, И.В. Ященко Длина, площадь, объем. («Школьные математические кружки»). – М.: МЦНМО, 2011.
13. Г. Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры. – Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.
14. http://mmmf.msu.ru/archive/#20032004 – Архив кружков малого мехмата МГУ