Авторы: А.В.Шаповалов, Л.Э.Медников
|
Издательство: |
МЦНМО |
ISBN: |
978-5-94057-951-9 |
|
|
Год издания: |
2012 |
Тираж: |
2000 экз. |
|
|
Количество страниц: |
176 стр. |
Размер: |
142x215/9 |
Книга подробно рассказывает о математических соревнованиях на летнем Турнире 2011 года, затрагивая и турниры нескольких предыдущих лет. Собраны все задачи 2011 года и избранные задачи 2008––2010 гг., всего около 250 задач для учеников 6–8 классов. Они сгруппированы по темам, снабжены рубрикатором, ко всем даны решения. Большинство задач вполне доступны широкому кругу школьников. Приведены правила олимпиад и игры «Математический квадрат», а также забавные случаи на турнирах.
Книга адресована тем, кто хотел бы подготовиться или подготовить учеников к математическим играм и соревнованиям: школьникам, их родителям и учителям, а также просто любителям математики
Заглавие книги навевает скуку. Читатель подозревает, что перед ним ещё один наспех сляпанный отчет о мало кому известном соревновании с перечислением победителей, по большей части известных задач и либо многословных, либо непонятных решений. Не зря у таких книжек обычно нет авторов, а только составители.
Авторам и самим такие отчеты не нравятся, поэтому все
плохие каноны они постарались сломать. Турнир больше известен как
«Летний турнир Кванта». Задачи в основном авторские,
сгруппированы как удобно читателям, решения короткие, но полные.
Подробный рубрикатор облегчает поиск. А если захочется отвлечься,
можно почитать весёлые байки о курьёзах на турнирах. Ну и, наконец,
книга просто приятно оформлена.
Надеемся, что приведённые ниже
выдержки из книги помогут составить о ней правильное впечатление.
После того как турнир закончился, остаются списки победителей и воспоминания о приятных и забавных моментах. Но главное – это, конечно, задачи.
Здесь собраны все задачи математических боев и олимпиад турнира 2011 года, задачи «Математического квадрата», а также по 20 избранных задач трех предыдущих турниров – всего примерно 250 задач. Мы разделили их на игровые (задачи «Мат. квадрата») и основные (все остальные). Все игровые задачи – не новые, поэтому они выделены в отдельную главу и публикуются без указания автора. У основных задач автор, как правило, указан, а в тех редких случаях, когда он неизвестен, указан источник задачи или написано «Фольклор». Стоит отметить, что среди задач основных соревнований новые авторские задачи составляют свыше 80%. Для турниров математических боёв это беспрецедентно много. Традиция идет от самых первых турниров, где все 100% задач были новыми и авторскими – благодаря настойчивости их первого организатора С.И.Токарева. С ростом популярности турнира росло число лиг, задач требовалось больше, новизна всех задач стала нереальной. Впрочем, отступления от требования новизны допускаются почти исключительно в тех лигах, где школьники по разным причинам не обладают широким кругозором по части олимпиадных задач.
Основных задач набралось чуть менее двух сотен. Читателю непросто сориентироваться в таком массиве, разбиение по вариантам и по хронологии тут мало помогает. Для удобства поиска и работы мы предпочли тематический порядок: разбили задачи на темы, снабженные подзаголовками, а темы сгруппировали в четыре раздела: логика, комбинаторика, арифметика/алгебра и геометрия. Далее пронумеровали задачи от 1 до 189 и для каждой указали, каким классам она подходит. Как обычно, наиболее трудные задачи помечены одной или двумя звездочками.
1 – 9, а также 6Л1, 6Л2, 6Л3, 6Л4, 73
1. (6) Мальчик по четвергам и пятницам всегда говорит правду, а по вторникам всегда лжет. Однажды его 7 дней подряд спрашивали, как его зовут. Шесть первых дней он давал такие ответы: Андрей, Борис, Андрей, Борис, Виктор, Борис. Какой ответ он дал на седьмой день? (И. Рубанов, Уральский турнир)
2. (6) «В этой фразе доля цифр X составляет …/…, доля цифр Y – …/…, а на долю остальных использованных цифр остается …/… .». Вставьте разные цифры вместо X и Y и числа вместо многоточий так, чтобы утверждение было верным. (А. Шаповалов)
4. (6-8) По кругу стоят лжецы и рыцари, всего 100 человек. В первый раз каждого спросили: «Верно ли, что твой сосед справа – лжец?». Двое ответили: «Да», остальные – «Нет». Во второй раз каждого спросили: «Верно ли, что твой сосед слева через одного – лжец?». И снова двое ответили: «Да», остальные – «Нет». В третий раз спросили: «Верно ли, что стоящий напротив тебя – лжец?». Сколько человек на этот раз ответят «да»? (А. Шаповалов)
8. (6-7) Пять мудрецов играют в мафию. Среди них два мафиози, два мирных жителя и комиссар. Мафиози знают друг друга, комиссар знает всё, мирные жители изначально ничего про других игроков не знают. Мафиози могут говорить что угодно. Остальные говорят только то, в чем сами уверены. Состоялся разговор:
А: «Д – мирный житель».
Б: «Нет, Д – мафиози».
В: «Д не знает, кто я».
Г: «Д знает, кто я».
Д: «Б – мафиози».
Определите роли всех тех игроков, для кого это возможно. (И. Раскина)
9. (6-8) Трем математикам нарисовали на лбу по прямоугольнику (с указанием размеров) и сообщили, что из этих трех прямоугольников можно сложить квадрат. Каждый математик не видит, что нарисовано у него на лбу, но видит лбы двух других. Первый сказал, что не может определить размеры прямоугольника у себя на лбу. Затем то же самое сказал второй математик. Найдите отношение сторон прямоугольника на лбу третьего математика. (А. Шаповалов)
13. (6-7) 2010 шариков раскрасили в 7 цветов радуги. На каждом шаре написали общее количество шаров такого же цвета, как и этот. Чему может быть равна сумма чисел, обратных написанным? (Г. Гальперин)
14. (6-7) Для каждого натурального числа, начиная с 1, подсчитали количество жителей Судиславля, возраст которых не меньше этого числа. Полученные результаты сложили. Докажите, что итог равен сумме возрастов жителей Судиславля. (Фольклор)
15. (7-8) Всех участников турнира два раза разбивали на команды: первый раз для игры в «Абаку», второй – в «Завалинку». Размеры команд в каждой игре не обязательно одинаковы, но в каждой команде есть хотя бы один участник. Оказалось, что каждый участник играл в «Завалинку» в не меньшей по численности команде, чем в «Абаку». Докажите, что в «Абаку» играло не меньше команд, чем в «Завалинку». (Фольклор)
16. (8) В классе 32 человека. Каждый из них назвал два числа: количество его одноклассников с таким же ростом, но другим весом и количество его одноклассников с таким же весом, но другим ростом. Среди названных чисел встретились все числа от 0 до 10. Докажите, что в этом классе можно выбрать двух человек с одинаковым ростом и одинаковым весом. (К. Матвеев, А. Шаповалов)
В турнирах им. Савина участвуют команды начиная с шестого класса. Неудивительно, что некоторые участники еще не очень твердо понимают правила или суть математического доказательства. Иногда это проявляется в виде неожиданных забавных вопросов или заявлений. Забавные случаи нередки, надо только суметь их увидеть…
Во время подготовки к матбою к члену жюри прибегает школьник. «Скажите, а корень из двух – число иррациональное?» – «Да». – «Эх, жаль!» – восклицает школьник и убегает.
Умный семиклассник любил применять формулы из программы 8-го и 9-го класса, однако, при ссылке на них во время доклада оппоненты ловили его на неточностях формулировок. Как-то при рассказе решения он выписал полтора десятка членов арифметической прогрессии, затем сообщил их сумму. Оппонент, ища к чему придраться, поинтересовался: «Скажите, а как вы нашли эту сумму?» Наученный горьким опытом, докладчик не стал ссылать на известную формулу, а сделал невинное лицо и ответил: «Столбиком».
Выслушав на матбое докладчика, оппонент заявил: «У меня есть контрпример». – «Подумаешь! – не испугался докладчик. – У меня тоже есть контрпример!»
На устной олимпиаде для шестиклассников была задача: «Перед вами три человека: двое нормальных, один – идиот. На вопрос, требующий ответа Да или Нет, нормальные отвечают честно. Идиот же в смысл вопроса не вникает, а отвечает наугад. Как за два таких вопроса определить про всех кто есть кто?» Школьники излагали свои решения путано, поэтому каждого слушала пара членов жюри. Для постороннего наблюдателя картина выглядела так: по лужайке разбросаны тройки людей, и время от времени кто-нибудь, взмахнув рукой, переспрашивает: «Ну и кто же из них троих идиот?»