(ledaren Alexandre Chapovalov)
Ordnade urval. Om ett alfabet innehåller N bokstäver, då är antalet ord som består av olika bokstäver (totalt k stycken faktorer). Ord får vara meningslösa. Exempel: om alfabetet är A,B,C finns 3·2 ord som består av två olika bokstäver, nämligen AB, AC, BA,BC, CA, CB.
1. a) Hur många tresiffriga tal består av 3 olika positiva siffror?
Svar
b) Hur många tresiffriga tal består av positiva siffror varav max två är olika?
Svar
2. a) I en kapplöpning deltar 8 hästar. En åskådare får fylla i ett kort där denne gissar på vilken plats varje häst kommer. Den som gissar rätt de 4 första platserna vinner en miljon. Man får fylla i flera kort. Hur många kort måste Peter fylla i för att säkert vinna en miljon?
Svar
b) Hästskötaren vet exakt hur kapplöpningen ska sluta men det är strängt förbjudet för honom att säga något om detta. Ändå är han Peters vän. De kom överens om att Peter får säga en förmodan och hästskötaren genom en vink om de är rätt eller fel. En förmodan får vara invecklad, t.ex. ”Jag tror att hästen
A kommer före exakt en av hästarna B,C och D.” Hur många förmodan behövs för att med säkerhet fylla i ett kort rätt?
Svar
3. ŕ) Bland 6 mynt är två falska– ett tyngre och ett lättare än ett äkta mynt. Kan man genom endast tre vägningar på en balansvåg utan vikter hitta de båda falska mynten samt bestämma vilket som är lättare?
Svar
b) Bland 4 mynt är två falska– ett tyngre och ett lättare än ett äkta mynt. Bestäm det minsta antalet vägningar på en balansvåg utan vikter för att hitta de båda falska mynten samt bestämma vilket som är lättare?
Svar
Permutationer. N böcker kan man placera i rad på en bokhylla på N!=N(N-1)…2·1 sätt (utläses N fakultet). T. ex. 4!=4·3·2·1=24.
4. Beräkna 1!, 2!, 3!, 5!, 6! och 7!. Svar
5. Hur många fyrsiffriga tal består av olika siffror som är alla större än 5? Svar
6. Bestäm de två sista siffrorna i talet 11! utan att beräkna talet. Svar
7. På hur mänga sätt kan man placera 8 torn på ett schackbräde utan att de hotar varandra? Svar
8. Beräkna a) 2004!/2003! Svar
b) 100!/98! Svar
9. Det finns 4 stenar som alla väger olika och en balansvåg utan vikter. Bestäm det minsta antalet vägningar som behövs för att ordna stenarna viktmässigt. Svar
10. Vilket är större: 100! eller 2100? Svar
11. I en kapplöpning deltar 7 kackerlackor. En åskådare får betala 200 kronor och fylla i ett kort där denne gissar på vilken plats varje kackerlacka kommer. Om alla 7 kackerlackor kommer rätt får man en miljon kronor. Är det värt att spela om man inte vet någonting om kackerlackornas chanser? Svar
12* ŕ) I ett land finns det bara 4 storstäder, och vartenda par av städerna är sammanbundet med sin egen väg. En ond trollkarl vill göra alla vägar enkelriktade på så vis att om en väg blir riktad från
A till B så blir det omöjligt att komma tillbaka från B till
A även genom andra städer. Hur många sätt finns det att förtrolla alla vägar på ett sådant vis?
Svar
b) Samma fråga om de finns 10 storstäder.
Svar
13* Det finns 4 vikter som väger 101, 102, 103 och 104 g men man vet inte vilken är vilken. Bestäm det minsta antalet vägningar på en balansvåg utan andra vikter för att bestämma alla de vikterna. Svar
14* Bland 5 mynt är två falska. De 3 äkta väger 10 g styck, ett falskt väger 9 g, ett annat falskt väger 11 g. Bestäm det minsta antalet vägningar på en balansvåg utan vikter för att hitta de båda falska mynten samt bestämma vilket är lättare. Svar