Суммы и прогрессии
С последовательностями школьники впервые сталкиваются в виде длинных сумм и арифметических прогрессий. Хотя формально прогрессии входят в школьную программу старших классов, на кружках они появляются в начале изучения алгебры - и усваиваются легко! Задачи на эту тему регулярно встречаются уже на соревнованиях 7-9 классов. Вот вам семь сравнительно лёгких моих задач:
1. Из последовательности 2010, 2009, 2008, ..., 2, 1 вычеркнули все точные квадраты, а из оставшихся чисел, не меняя порядка, сделали знакочередующуюся сумму 2010–2009+2008– ... . Найдите результат.
2. В ряд по возрастанию веса стоят 33 гири. Известно, что каждые четыре подряд стоящие гири можно разложить по две на чаши весов так, чтобы было равновесие.
а) Третья гиря весит 9 г, девятая – 33 г. Сколько весит 33-я гиря?
б) Первая гиря весит 4 г, четвертая – 11 г, одиннадцатая – 24 г. Сколько весит 24-я гиря?
3. Фабрика выпускает наборы из n>2 слоников различной величины. По стандарту разница масс соседних слоников должна быть одной и той же. Контролер проверяет наборы по одному с помощью чашечных весов без гирь.
а) При каком наименьшем n это возможно?
б) При каких n контролер сможет это проверить с помощью чашечных весов без гирь?
4. Все попарные суммы n чисел различны и в порядке возрастания образуют арифметическую прогрессию. При каких n такое возможно?
5. Арифметическая прогрессия состоит из различных натуральных чисел. Каждое число заменили на его сумму цифр – и опять получилась арифметическая прогрессия.
а) Могло ли в прогрессии быть более 9 членов?
б) Могла ли прогрессия быть бесконечной?
6. В последовательности 1, 2, 4, 6, ... каждое число, начиная с третьего, равен сумме предыдущего числа и наибольшего простого делителя предыдущего числа (то есть, 4=2+2, 6=4+2 и т.д.). Какое число стоит на 3999-м месте?
6. В строго возрастающей геометрической прогресии более 10 членов. Каждый член заменили на его дробную часть. Могла ли получиться строго убывающая геометрическая прогрессия?