А.В.Шаповалов => Задачи => Конференции Тургора

Геометрические нумерации

Шаповалов А.В.

    1. Некоторое множество геометрических фигур занумеровано натуральными числами. Назовём нумерацию накрывающей, если фигуру B можно накрыть фигурой, равной A тогда и только тогда, когда номер A делится на номер B.

    1.1. У всякого ли конечного набора многоугольников есть накрывающая нумерация?

    1.2. Всякое ли конечное множество натуральных чисел может служить накрывающими номерами некоторого множества многоугольников?

    1.3. Какой минимальный набор многоугольников нельзя занумеровать числами, не превосходящими 100?

    1.4. Всякую ли бесконечную последовательность многоугольников можно накрывающе занумеровать?

    1.5. Существует ли последовательность многоугольников, накрывающе занумерованная всеми натуральными числами?

    2. Пусть A и B – геометрические фигуры. Скажем, что A поглощает B, если B можно накрыть объединением конечного числа фигур, равных A. Назовём нумерацию набора фигур поглощающей (или П-нумерацией), если фигура A поглощает фигуру B тогда и только тогда, когда номер A делится на номер B.

    2.1. Найдите пример двух фигур, не поглощающих друг друга.

    2.2. Найдите пример набора фигур с П-номерами 1, 2, 4, 8.

    2.3. Всякое ли конечное множество натуральных чисел может служить П-номерами некоторого набора фигур?

    2.4. Существует ли последовательность фигур, П-занумерованная всеми натуральными числами?

    3. Назовём фигуру наполненной, если она выпукла, замкнута (включает в себя все точки границы) и поглощает единичный квадрат. Примеры наполненных фигур: выпуклый многоугольник, полоса (полоса между параллельными прямыми), угол, плоскость.

    3.1. Набор выпуклых замкнутых фигур П-занумерован числами 1, 2, 4, 8. Докажите, что фигура номер 8 – наполненная.

    3.2. Приведите примеры наборов наполненных фигур с П-номерами: a) 1, 2, 4; b) 1, 2, 4, 8; c) 1, 2, 4, 8, 16.

    4. Пусть C поглощает A. Скажем, что между ними можно вставить фигуру B, если найдётся П-занумерованный набор {Ф1, Ф2, Ф4}, где A=Ф1, B=Ф2, C=Ф4.

    4.1. Можно ли вставить наполненную фигуру между квадратом и полосой?

    4.2*. Всегда ли можно вставить наполненную фигуру между двумя наполненными поглощающими полосу фигурами?

    4.3*. Всегда ли можно вставить между двумя неограниченными (не обязательно выпуклыми) фигурами фигуру, содержащую каждую свою точку вместе с некоторым треугольником?

    5. Назовём полуостровом любую наполненную фигуру, которую можно вставить между полосой и плоскостью. Луч, целиком лежащий в полуострове, назовём его осью.
    Пусть задана (на всей числовой оси или на её половине) непрерывная функции f(x). Множество точек, лежащих над графиком y=f(x) и на нём, назовём надграфиком или половиной надграфика соответственно. Если разрезать надграфик по прямой, параллельной оси Oy, включив границу разреза в каждую из частей, то получим две половины надграфика.

    5.1. Докажите, что
    a) у полуострова есть ось;
    b) все оси полуострова параллельны друг другу;
    c) всякая прямая, не параллельная оси, пересекается с полуостровом по отрезку, точке или не пересекается;
    d) всякая прямая, параллельная оси, пересекается с полуостровом по лучу или не пересекается.

    5.2. Докажите, что
    a) если половина надграфика выпукла, то она поглощает полосу, но сама полосой не поглощается;
    b) надграфики и половины надграфиков функций y=|x| ;при >1 – полуострова;
    c) всякий полуостров равен надграфику или половине надграфика;
    d) если A и B – осесимметричные надграфики и полуострова, то A поглощает B тогда и только тогда, когда A накрывает некоторую половину B.

    Определение. Пусть f(x) и g(x) – непрерывные монотонно возрастающие функции. Скажем что f существенно больше g (пишем f>>g), если найдутся такие числа x0, y0 и N, что при всех x>N выполнено f(x+x0)+y0>g(x), однако f(x) и g(x) поменять местами нельзя.
    е) Приведите пример цепи, то есть такого набора функций f(x) (где пробегает все целые, рациональные или действительные числа), что f>> f  >при всех и .
    f) Приведите пример антицепи, то есть такого набора функций f(x) (где пробегает все целые, рациональные или действительные числа), что любые две из этих функций попарно несравнимы (то есть для любых и неверно, что f>> f).

    5.3. Существует ли набор наполненных фигур, множество П-номеров которого совпадает
    a) с {2, 3};
    b) с с любым конечным множеством натуральных чисел?

    5.4. Существует ли последовательность наполненных фигур, П-занумерованная
    а) натуральным рядом;
    b)* всеми положительными рациональными числами?
    (Про нецелые числа говорят, что     a делится на b, если a/b – целое).

    Примечание. Пункты 5.2e и 5.2f были добавлены на промежуточном финише.

    http://www.ashap.info/Zadachi/KonfTG.html