А.В.Шаповалов => Олимпиады и турниры => Турнир им. Савина

Публикация в журнале Квант, 2010 г, №6

Д.Калинин, А.Шаповалов

Летний турнир имени А.П.Савина

С наступлением лета школьники разъезжаются отдыхать. Но для некоторых ребят увлекательный отдых — решение математических задач. А также общение с теми, у кого такая же горячая любовь к математике. Каждый год в конце июня проходит турнир математических боев памяти А.П. Савина. В 2010 году он состоялся в 16 раз. Как и раньше, он проходил на берегу живописного озера, на базе отдыха «Берендеевы Поляны» около Судиславля (Костромская область).

В соревнованиях приняли участие 38 команд из Москвы, Санкт-Петербурга, Костромы, Тамбова, Черноголовки, Харькова и Киева. Инициаторы проведения турнира — Григорий Вячеславович Кондаков и образовательная программа «Большая Перемена».

В первый день турнира прошла игра «Математическая абака». Это увлекательное соревнование, где ребятам надо выбирать задачи как по сложности, так и по темам. Так, например, семиклассникам предложили задания по логике и теории чисел, арифметике и алгебре, а также задания, объединенные в группу с расплывчатым названием «Числа». Из победителей назовем команды, занявшие первые места. Среди 6 классов — это команда кружка «Квантик» (г. Москва). Среди семиклассников — первая команда гимназии № 1514 (г. Москва). Команда школы № 82 г. Черноголовки (Московская область) стала лучшей в 8 классах. Команда «А» ЦО № 218 (г. Москва) заняла 1 место среди 9 классов.

На следующий день команды 6-8 классов участвовали в командной олимпиаде, которая должна была разделить их на лиги. А девятиклассники уже начали сражаться: 6 команд составили отдельную лигу и за 5 дней провели полный круговой турнир. Команды 6-8 классов разделились на подгруппы лиг 6 классов, 7 классов, 8 классов, а также смешанной лиги 7-8 классов.

Турнир математических боев — это не только борьба с задачами. Каждый вечер группы ребят и руководителей собираются возле листочков с результатами очередного тура, долго обсуждают итоги и пытаются делать прогнозы на следующий тур. Но надо признать, что в большей части групп лиг интриги не получилось: команды в итоге выстроились в таком порядке, когда команда, оказавшаяся в итоге выше, выигрывала у команды, оказавшейся ниже. Сложно было делать прогнозы в 9 классе: здесь три команды настойчиво выигрывали у остальных трех. Всё шло к тому, что первые три команды выиграют друг у друга по кругу, и также произойдет среди оставшихся трех команд. Не уж-то команды не распределятся по местам? Все ждали последний тур. В итоге неожиданная «ничья» определила 3 и 4 места, а 1 и 2 место определились по личной встрече между командами.

В лиге 6 классов лучшей стала команда московской гимназии № 1514, выиграв в финальном бою шестиклассников школы № 179. Зато семиклассники школы № 179 заняли первое место, победив прошлогоднего победителя — команду кружка «Фрактал» из Санкт-Петербурга. Первое место в лиге 8 классов заняла сборная команда кружка А.В. Спивака, в которой играл только один ученик 8 класса, а остальные игроки — семиклассники. В результате упорной борьбы в лиге 9 классов лучшей стала команда кружка Т.П. Зориной с названием «Москва-Юг». Заметим, что в эта команды выиграла не только два летних турнира — осенью 2009 года они увезли кубок турнира «Kostroma Open 8-9».

Представим список всех призеров турнира.

Один день турнира ребята отдыхают от математических боев. В это время проходит личная олимпиада, а точнее — целых четыре (по каждой из параллелей 6, 7, 8 и 9 классов). Среди шестиклассников лучшими стали Степан Петров из Санкт-Петербурга (школа № 30) и пятиклассница Дарья Николаева (школа 464, Москва). Результат Юли Зайцевой (школа 179, Москва) в олимпиаде 7 классов был отмечен «гран-при», а первые дипломы получили два её одноклассника Илларион Дмитриев и Саша Ватузов, а также Андрей Зерцалов из ЦО № 218 Москвы. Но на этом дипломы, заработанные семиклассниками, не закончились — Андрей Волгин (7 класс, гимназия 1543, Москва) стал одним из лучших в олимпиаде 8 классов. Дипломы I степени также получили двое киевлян Никита Щеглов и Данил Хилько (оба — лицей 208) и москвич Ваня Зверев (школа 853, Москва). Команды киевского лицея 208, впервые приехавшие на турнир, увезли еще один диплом первой степени — его получил Максим Чаудхари в олимпиаде 9 классов. Вместе с ним такой результат показали Саша Корочкин (гимназия 1514, Москва) и Лев Синяков (школа 350, Москва).

Обладателями дипломов II степени стали: Зайцева Татьяна (6 кл., школа 179, Москва), Ипатов Михаил (6 кл., гимназия 1, Кострома), Виленский Самуил (6 кл., школа 57, Москва), Ионица Георгий (7 кл., гимназия 1543, Москва), Петренко Иван (7 кл., лицей 17, Кострома), Лебедева Дарья (7 кл., лицей 533, Санкт-Петербург), Лукашевич Дмитрий (7 кл., гимназия 28, Кострома), Чистопольская Алиса (7 кл., гимназия 1543, Москва), Белугина Виктория (7 кл., лицей 533, Санкт-Петербург), Гудков Сергей (8 кл., гимназия 1514, Москва), Райко Арсений (8 кл., школа 179, Москва), Зуев Антон (8 кл., школа 179, Москва), Мельниченко Петр (8 кл., школа 315, Москва), Мукин Тарас (8 кл., лицей 14, Тамбов), Князева Алиса (8 кл., ФМЛ 27, Харьков), Кулаков Пётр 8 кл., школа 82, Черноголовка), Любчик Евгений (8 кл., УВК 45 АГ, Харьков), Хачатурян Марина (8 кл., гимназия 1543, Москва), Никитин Игорь (8 кл., гимназия 1543, Москва), Харитонова Елена (8 кл., лицей 208, Киев), Заславский Олег (8 кл., гимназия 1543, Москва), Ситкин Александр (8 кл., школа 179, Москва), Меньшов Сергей (9 кл., лицей 20, Междуреченск), Ефимов Андрей (9 кл., ЦО 218, Москва), Сандрикова Мария(9 кл., ЦО 218, Москва), Феклина Анастасия (9 кл., школа 179, Москва), Королев Андрей (9 кл., школа 1345, Москва), Кульчицкий Юрий (9 кл., лицей 208, Киев), Попов Сергей (9 кл., ЦО 218, Москва).

Дипломами 3-й степени награждены Пучка Тарас (6 кл., школа 179, Москва), Шибанкова Екатерина (6 кл., школа 179, Москва), Шатский Владимир (6 кл., гимназия 1514, Москва), Волков Виктор (6 кл., школа 622, Москва), Гришутин Александр (6 кл., школа 827, Москва), Тукачинский Владислав (6 кл., гимназия 1514, Москва), Золотов Борис (6 кл., школа 3, Гатчина), Румянцев Влад (6 кл., школа 179, Москва), Семин Иван (6 кл., школа 30, Санкт-Петербург), Полевой Сергей (7 кл., Интеллектуал, Москва), Некрасова Татьяна (7 кл., школа 179, Москва), Исхаков Тимур (7 кл., ЦО 218, Москва), Смирнова Ирина (7 кл., лицей 17, Кострома), Махлина Екатерина (7 кл., гимназия 1543, Москва), Ванчурина Антонина (7 кл., школа 179, Москва), Бакунов Никита (8 кл., ФМЛ 27, Харьков), Савостьянов Антон (8 кл., лицей 14, Тамбов), Уруев Андрей (8 кл., лицей 34, Кострома), Щербань Яков (8 кл., школа 82, Черноголовка), Котельникова Юлия (8 кл., гимназия 1543, Москва), Говорухин Ярослав (8 кл., школа 179, Москва), Добровольская Анна (9 кл., гимназия 1514, Москва), Погорелов Иван (9 кл., гимназия 1514, Москва), Попеску Андрей (9 кл., гимназия 1514, Москва), Сафронов Кирилл (9 кл., гимназия 1514, Москва), Сердюк Ярослава (9 кл., лицей 208, Киев), Преображенский Анатолий (9 кл., ЦО 218, Москва).

Также многие ребята были награждены похвальными грамотами.

Отбором задач и составлением вариантов занималась методическая комиссия под общим руководством Александра Васильевича Шаповалова. Варианты лиги 9 классов составляли М.А. Берштейн, М.В. Прасолов, А.А. Заславский, 8 классов — А.В. Хачатурян, Н.Т. Гребеник, П.В. Мартынов, 7 классов — Д.В. Прокопенко, Ю.А. Блинков, А.И. Сгибнев, 6 классов — И.В. Раскина, А.П. Пагода, Н.Л. Чернятьев, варианты лиги 7-8 классов собирали Д.А. Калинин, Э.А. Акопян. Кроме них, в методкомиссии работали А.Д. Блинков, Е.С. Горская, Т.В. Караваева, Д.В. Швецов, А.Ю. Юрков, О.А. Карпов.

Книги и другие призы для победителей предоставили компании «Яндекс», «ABBYY» и фонд математического образования и просвещения (директор — С.И. Комаров).

Конечно, такой турнир должен быть представлен не только участниками и победителями. Запоминаются яркие эмоции от побед (а порой и от неудач), но остаются в памяти яркие задачи. Приведем некоторые из задач турнира. У каждой задачи указано, для каких классов она наиболее подходит, а если известно, то и автор.

1. (6-8) Произведение двух последовательных натуральных чисел может оканчиваться на 1000. Например, 10001001 = 1001000 или 89999000 = 899991000 = ...1000.
   а) Может ли произведение четырех последовательных натуральных чисел оканчиваться на 1000?
   б) Может ли произведение шести последовательных натуральных чисел оканчиваться на 1000? (Д. Шноль)

2. (6-7) Нарисуйте 6-угольник и проведите прямую через две его вершины, которая разбивает его на два пятиугольника. (В. Гуровиц)

3. (6-7) 2010 шариков раскрасили в 7 цветов радуги. На каждом шаре написали общее количество шаров такого же цвета, как и этот. Чему может быть равна сумма чисел, обратных написанным? (Г.Гальперин)

4. а) (6-8) В 10 кошельках лежали монеты. Достоинства любых двух монет из одного кошелька отличались не более, чем на 1 берендейку. Монеты смешали и положили в непрозрачный мешок. Саша про монеты заранее ничего не знает. Он вынимает по одной монете из мешка, смотрит на нее и кладет в одну из 19 имеющихся коробок. Положив монету в коробку, потом ее уже нельзя переложить. Докажите, что Саша может действовать так, чтобы в каждой коробке достоинства любых двух монет отличались не более чем на 1 берендейку.
   б) (7-8) В 10 кошельках лежали монеты так, что веса любых двух монет из одного кошелька отличались не более, чем на 1 г (веса монет могут быть нецелыми). Монеты смешали и положили в непрозрачный мешок. Саша про веса монет заранее ничего не знает. Он вынимает одну монету из мешка, взвешивает, затем кладет монету в одну из имеющихся 20 коробок, вынимает следующую монету и т.д. (Положив монету в коробку, потом ее уже нельзя переложить). Докажите, что Саша может действовать так, чтобы в каждой коробке веса любых двух монет отличались не более чем на 1 г.
   в) Как (б), но коробок 19. (А.Шаповалов)

5. (6-7) У двух восьмизначных чисел произведения цифр положительны и равны. В каждом из чисел все цифры различны. Докажите, что у этих чисел равны и суммы цифр. (А.Шаповалов)

6. (8-9) а) При каком наименьшем n найдется n-угольник, который можно разрезать на 13 равных частей? (А.Заславский)

б) Существуют ли три попарно не подобных треугольника, каждый из которых
можно разрезать на 26 равных треугольников? (А.Заславский, Б.Френкин)

7. (7-9) Даны 10 бумажных прямоугольников. Вася может разрезать не более одного из них на два меньших прямоугольника. После этого он делит прямоугольники на две группы. Всегда ли он может добиться, чтобы суммы периметров в группах были одинаковы? (А.Шаповалов)

8. (6-7) Коля и Толя по очереди закрашивают по две клетки на полоске 1×2010. Коля хочет, чтобы расстояния между двумя отмеченными им за один ход клетками не повторялись. Сможет ли Толя ему помешать? (Н.Чернятьев)

9. (7-8) У Саши есть 27 кусков сыра с массами 100, 200, 300, …, 2700 грамм. Он очень хочет разложить весь сыр на кучки так, чтобы в каждой кучке был кусок, весящий столько же, сколько и все остальные куски в этой кучке вместе. Сколько кучек у него может получиться? (А.Грибалко)

10. (7-8) В школе число мальчиков равно числу девочек. Ни в каком классе не учится больше, чем полшколы. Все ученики школы пришли на дискотеку. Диджей объявил белый танец. Докажите, что каждая девочка сможет пригласить мальчика из другого класса. (фольклор)

11. (8-9) Целые числа a,b,c,d удовлетворяют условию a³+ba²+ca+d=0. Докажите, что число c²–4bd–4ad – квадрат целого числа. (А. Хачатурян)

12. (6-7) КОЕ-ЧТО=857. На сколько КТО-ТО больше, чем КОЕ-КТО? (А. Хачатурян)

13. (6-8) В летней школе мальчики и девочки живут в 2- и 3-местных номерах (как мальчики, так и девочки занимают много и 2-, и 3-местных номеров). Свободных мест нет. Посреди смены уехал один мальчик, живший в 3-местном номере, а приехала новая девочка. Какое наименьшее количество школьников придется переселить, чтобы поселить девочку в 2-местный номер? (В. Гуровиц)

14. (7-8) Можно ли расставить в выражении 1*2*3*...*100/(1*2*3*...*100) вместо звездочек знаки умножения и деления так, чтобы полученное выражение равнялось 1/10? (фольклор)

15. (7-9) На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 1001. Двое играют в игру – по очереди стирают по одному числу, пока на доске не останется только два числа. Если одно из них делится на второе, побеждает первый, если нет – второй. Кто из игроков имеет возможность победить при любой игре противника? (А.Шаповалов)

16. (6-8) Петя разбил клетчатый квадрат 7×7 на прямоугольники по границам клеток, и раскрасил прямоугольники в три цвета так, что прямоугольники одного цвета не соприкасались даже углами. Какое наибольшее число прямоугольников могло быть у Пети? (А.Шаповалов)

17. (7-9) Есть 2n человек: n болеют за "Спартак" и n – за "Динамо". Можно спросить у любых двоих, за одну они болеют команду или за разные, и они честно ответят. Требуется посадить болельщиков в два автобуса так, чтобы в каждом были болельщики только одной команды. За какое минимальное количество вопросов это можно сделать? (И.Раскина)

18. (7-9) Параллелограмм разбит на треугольники. Докажите, что один из них можно накрыть всеми остальными вместе. (А.Шаповалов)

19. (7-9) В точном квадрате – более миллиона цифр. Какое наименьшее количество цифр может быть четными? (А.Шаповалов)

20. (8-9) а) Лёша говорит, что придумал квадратный трёхчлен с целыми корнями. Потом он прибавил ко второму коэффициенту 2, а к свободному члену 6 и снова получил квадратный трёхчлен с целыми корнями. С результатом сделал то же, снова получил квадратный трёхчлен с целыми корнями и так делал 2010 раз, и всё время получались целые корни. Могут ли его слова быть правдой?
    б) Есть две арифметические прогрессии a_n, b_n. Известно, что при каждом n уравнение x²+a_nx+b_n=0 имеет два корня. Докажите, что у всех этих уравнений есть общий корень. (А.Марачев, А.Заславский)

21. (7-8) Всех участников турнира два раза разбивали на команды: первый раз для игры в «Абаку», второй – в «Завалинку». Размеры команд в каждой игре не обязательно одинаковы, но в каждой команде есть хотя бы один участник. Оказалось, что каждый участник играл в «Завалинку» в не меньшей по численности команде, чем в «Абаку». Докажите, что в «Абаку» играло не меньше команд, чем в «Завалинку». (А.Лебедев, А.Шаповалов)

22. (8) У Ёжика и Лисы есть кусочек сыра весом в целое число граммов. Они играют в шахматы. Если выигрывает Ёжик, то он съедает 4 грамма, если выигрывает Лиса, то она съедает четверть оставшегося сыра. После нескольких игр осталось целое число граммов сыра, при этом Лиса и Ёжик съели поровну сыра и набрали поровну очков. Сколько граммов сыра осталось? (Т.Голенищева-Кутузова, А.Хачатурян)

23. (6-7) Робин-Бобин Барабек грабил 40 человек. Сначала он отобрал 6 пончиков у первого человека, разделил их на несколько одинаковых кучек и одну из кучек съел. У каждого из следующих он также отбирал по 6 пончиков, затем делил все имеющиеся к этому моменту пончики на равные кучки, одну съедал и т.д. Ограбив последнего, он разделил пончики на 6 кучек, а потом съел 6 пончиков. Сколько всего пончиков съел Робин, если до начала серии ограблений пончиков у него не было? (А.Шаповалов)

24. (8-9) Есть одна монета, известно, что она – фальшивая. Есть ещё девять таких же с виду монет. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь проверить, есть ли среди этих девяти монет хотя бы одна фальшивая монета? (Настоящие монеты весят одинаково, фальшивые тоже весят одинаково и тяжелее настоящих). (А.Шаповалов)

25. (9) Дан вписанный четырехугольник ABCD. Ещё одна окружность, проходящая через точки B и C, касается отрезка AD в точке M_AD. Аналогично определяются точки M_AB , M_BC , M_CD. Докажите, что прямые M_ABM_CD и M_ADM_BC перпендикулярны. (А.Волчкевич, Д.Шевцов)

26. (9) Внутри остроугольного треугольника ABC выбрана точка N, а на сторонах AB и BC – точки P и Q соответственно. Отрезки NP, NQ и NA делят треугольник ABC на треугольник и два четырехугольника. Оказалось, что упомянутые четырехугольники – две равные трапеции. Как относятся их основания? (А.Хачатурян)

27. (8-9) Есть клетчатый бильярдный стол размером 101×99. По углам стола расположены лузы. Можно ли запустить шар таким образом, чтобы на своём пути он прошёл по всем вершинам всех квадратиков сукна, расположенных внутри стола? (А.Юрков)

28. (7-9) Петя и Вася играют на шахматной доске в следующую игру. Каждым ходом игрок выбирает некоторую свободную клетку и проводит в ней обе диагонали – одну красным цветом, другую синим. Запрещается проводить диагональ так, чтобы она имела общий конец с уже проведенной диагональю такого же цвета. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первым ходит Петя. Кто из них может выигрывать, как бы не играл противник? (А.Шаповалов)

29. (7-9)На клетчатой доске 8×8 часть клеток отмечена. Известно, что ладья может пройти от любой отмеченной до любой другой, не перепрыгивая через неотмеченные клетки, причем единственным маршрутом (иначе говоря, нет замкнутых маршрутов ладьи по отмеченным клеткам). Какое наибольшее число клеток может быть отмечено? (Б.Френкин)

30. (8-9) Правильным маршрутом на бесконечной клетчатой плоскости назовем маршрут ладьи, который имеет начало, не имеет конца и проходит через каждую клетку ровно по одному разу (ладья каждым ходом идет в соседнюю клетку по вертикали или горизонтали). Можно ли во всех клетках расставить натуральные числа так, чтобы каждое число встречалось ровно один раз и на некотором правильном маршруте числа только возрастали, а на другом правильном маршруте все время чередовалось возрастание и убывание чисел? (Б.Френкин)

31. (9) Через вершину С ромба АВСD проведена прямая, пересекающая отрезки АВ и BD в точках М и K соответственно. Окружность, проходящая через точки А, М и K, пересекает прямые BD и AD в точках Р и L соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника СКР совпадает с центром описанной окружности треугольника СМL. (Ю.Блинков)