А.В.Шаповалов => Книги и брошюры=> Школьные математические кружки

Непрерывность

Авторы: А.Д.Блинков, В.М.Гуровиц
Издание: 3-е, стереотипное
Издательство: МЦНМО
ISBN: 978-5-4439-4368-8
Год издания: 2022
Тираж: 2000 экз.
Количество страниц: 160 стр.
Размер: 140x200х7

Двенадцатая книжка из серии «Школьные математические кружки» посвящена одному из фундаментальных понятий математики — непрерывности и предназначена для занятий со школьниками 7–11 классов. В неё вошли разработки девяти занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. В приложении содержится список дополнительных задач и их решения. Отдельная часть этого раздела посвящена строгим формулировкам определений непрерывности и её свойств, а также формулировкам утверждений более высокого уровня, которые практически являются теоремами и фактами высшей математики. Для удобства использования заключительная часть книжки, как всегда, сделана в виде раздаточных материалов.
Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям математики.

Скачать Демо-версию 1-й главы (pdf)

Купить электронную версию книги на litres.ru

Смотреть лекцию "Непрерывность в геометрии"

Предисловие

Непрерывность – основное и достаточно сложное понятие, на котором строится математический анализ, а значит, и вся современная математика. Но основы математического анализа начинают изучать лишь в старших классах (а в последнее время звучат предложения вообще исключить высшую математику из школьной программы!), так, казалось бы, о чем же здесь можно говорить со школьниками более младших классов? Тем не менее, нам представляется важным познакомить школьников с этим понятием на наглядном и интуитивном уровне (до введения его формального определения и строгого доказательства свойств) и показать многочисленные применения непрерывности для решения задач из различных областей математики. Это делается и в школьном курсе алгебры, например, при решении неравенств методом интервалов. Но класс задач, которые могут быть решены с применением соображений непрерывности – гораздо шире. Сложно даже его описать – настолько разнообразны применения непрерывных функций во всех разделах математики.

Предлагаемая книжка содержит девять занятий математического кружка. В материалы каждого занятия входят: вступительный и поясняющий текст учителя, включающий в себя: несколько подробно разобранных типовых задач по теме; задачи, которые могут быть предложены учащимся для самостоятельного решения (как на занятии, так и дома); подробные решения этих задач; методические комментарии для учителя.

В разделе приложений представлены дополнительные задачи различного уровня трудности, часть из которых в какой-то степени дублирует задачи, предложенные для занятий, а часть – дополняет их новыми идеями (наиболее сложные задачи отмечены знаком *). Эти задачи можно использовать на усмотрение преподавателя (или обучающегося). Для них также, как правило, приведены подробные решения (в наиболее простых случаях – ответы и указания). Для удобства, в конце каждого занятия приведен список задач из этого раздела, которые имеет смысл использовать для закрепления материала, контроля его освоения и углубления. Следует учесть, что есть задачи, которые отнесены к нескольким занятиям (поскольку допускают различные подходы). Отдельная часть этого раздела посвящена строгим формулировкам определений непрерывности и ее свойств, а также формулировкам утверждений более высокого уровня, которые практически являются теоремами и фактами высшей математики. Кроме того, для удобства преподавателей, в разделе приложений помещен раздаточный материал.

В конце книги приведен список литературы, на которую иногда делаются ссылки в тексте. Большую часть этих изданий и публикаций можно использовать в качестве дополнительной литературы.

Приведем краткое описание занятий.

Занятие 1. Дискретная непрерывность. Доступно учащимся 7 – 8 классов. Посвящено введению понятия дискретно непрерывной величины. Для школьников более старших классов можно проводить это занятие, используя более строгую технику в доказательствах и требуя явного выделения «непрерывной последовательности».

Занятие 2. Непрерывные траектории. Доступно учащимся 7 – 8 классов. Посвящено плавному переходу от дискретной непрерывности к обычной на наглядном уровне. Рассмотрены простейшие зависимости, графики которых можно провести «не отрывая руки».

Занятие 3. Дискретная непрерывность на плоскости. Ориентировано на учащихся 8 – 9 классов. Посвящено переходу от объектов, расположенных последовательно в ряд, к объектам, расположенным на плоскости, при рассмотрении дискретно непрерывных величин.

Занятие 4. Непрерывность в алгебре. Ориентировано на учащихся 8 – 9 классов и требует предварительных знаний об элементарных функциях в рамках базового курса математики основной школы. Занятие направлено на расширение приемов, обсуждаемых при изучении в соответствующих тем на уроках алгебры (на примерах квадратичной функции и модуля).

Занятие 5. Непрерывность в геометрии (планиметрия). Ориентировано на учащихся 8 – 9 классов и требует предварительных знаний в объеме базового школьного курса планиметрии. Посвящено, в основном, отработке уже изученных приемов на геометрическом материале. Позволяет существенно расширить арсенал возможностей построения примеров геометрических объектов с различными свойствами.

Занятие 6. Площади, периметры, массы. Ориентировано на учащихся 9 – 10 классов, но может быть адаптировано и для более младших школьников. Посвящено применению непрерывности к задачам комбинаторной геометрии и близким к ним «по духу» задачам комбинаторики.

Занятие 7. Непрерывность в геометрии (стереометрия). Ориентировано на учащихся 10 классов. Требует предварительных знаний основ геометрии в пространстве и представлений о простейших многогранниках и круглых телах. Изучаемые приемы решения задач тесно связаны с материалом занятия 5, но требуют более серьезных технических навыков.

Занятие 8. Малые шевеления. Ориентировано на учащихся 10 классов, но может быть адаптировано и для более младших школьников. Посвящено особому приему решения задач, связанному с непрерывностью, который может применяться в комбинаторной геометрии и алгебре..

Занятие 9. Функции общего вида и функциональные соотношения. Ориентировано на учащихся 10 – 11 классов. Требует предварительного знания ряда общих свойств функций (монотонности, периодичности, дифференцируемости) и умения их применять при различных рассуждениях. Также требует уверенного владения понятием композиции функций и понимания поведения функций «на бесконечности». Вплотную подводит к дальнейшему изучению ряда теорем математического анализа, комплексного анализа и топологии.

Понятно, что преподаватель математического кружка может по своему усмотрению использовать только часть предложенных занятий, поменять порядок их изучения, и т. д.

Авторы благодарны А.В. Акопяну, Н.Н. Андрееву, Ю.А. Блинкову, Е.С. Горской, А.А. Заславскому, П.А. Кожевникову, Г.А. Мерзону, Д.В. Прокопенко и В.Ю. Протасову, а также ученикам школы №218 г. Москвы А. Зерцалову и М. Сандриковой за помощь в подборе материала, полезные обсуждения и ценные замечания.

Отдельная и огромная благодарность – Александру Васильевичу Шаповалову: за подборки задач, внимательное прочтение книжки и подробные комментарии, способствовавшие существенному улучшению ее композиции и текста.