(Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem. Summan av poängtal för delproblem adderas och räknas som ett problem. Din totala poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng. Sedan multipliceras summan med 3/2 för åk 8, med 4/3 för åk 9, med 4/5 för åk 2 och med ¾ för åk 3. Problemen 6 och 7 tillgodoräknas bara i tävlingen mellan eleverna och städerna i det här landet.)
1. I en triangel ABC är vinkel A lika
med 60 grader. Mittpunktsnormalen till sidan AB skär linjen AC i en
punkt N. Mittpunktsnormalen till sidan AC skär linjen AB i en punkt
M. Visa
att AB och MN har lika stora längder.
[3 poäng]
2. En tabell av format n×n fylls i på följande sätt: första kolumnen fylls med ettor, andra kolonnen med tvåor osv. Sista kolumnen fylls med ”n-or”. Sedan suddar man ut alla tal som ligger på diagonalen mellan hörnet längst upp till vänster och hörnet längst ner till höger. (På bilden kan du se ett exempel av en sådan tabell i formatet 3×3).
| 2 | 3 | |
| 1 | 3 | |
| 1 | 2 |
Visa att summan av alla tal över diagonalen är dubbel så stor som summan av
alla tal under diagonalen.
[3 poäng]
3. Givet ett positivt tal a. Det är känt att det finns exakt tre positiva heltal x som satisfierar olikheten 1 < ax < 2. Hur många positiva heltal x kan då satisfiera olikheten 2 < ax < 3? Bestäm samtliga möjliga värden på antalet sådana heltal. [4 poäng]
4. Anja, Benny och Calle sitter runt ett bord och äter
nötter. Först är alla nötter hos Anja. Hon delar dem jämt mellan Benny och Calle och om det finns en udda nöt
kvar äter hon upp den. Sedan gör hennes granne medsols samma sak: delar samtliga nötter som finns hos honom mellan de två övriga och äter
upp en eventuell restnöt. Nästa person medsols gör samma sak o s.v.
Ursprungligen fanns det fler än 3 nötter. Visa att:
a) minst en nöt blir uppäten;[3 poäng]
b) minst en nöt blir aldrig uppäten. [3 poäng]
5. Per har n3 små vita kuber av 1×1×1-format. Hans uppdrag är att lägga ihop en stor kub av
n×n×n-format med helvit yta. Basil kan måla om de små kubernas ytor. Bestäm det
minsta antalet ytor som Basil måste måla om för att göra Pers uppdrag omöjligt.
Lös det här problemet ifall
a) n=2; [2 poäng]
b) n=3. [4
poäng]
6. Johan har en hushållsassistent som tillverkar en god mjölkcocktail av mjölk och glass. För detta förbrukas 100 g mjölk per 30 sekunder och 100 g glass per 40 sekunder. En het sommardag blev Johan jättesugen. Han laddade hushållsassistenten med tillräckligt mycket glass och mjölk och slog på. Omedelbart började cocktailen rinna ut i ett glas och Johan dricka den genom ett sugrör 100 g per minut. Hur lång tid tar det innan det blir 100 g cocktail över i glaset? [1 poäng]
7. Den traditionella årliga tävlingen Mattefesten
hålls i år för den 17:e gången. Av ren tur råkar just
dagens årtal vara jämt delbart med Mattefestens ordningsnummer: 2006 /17 =
118.
a) Hitta ett annat ”tursamt” årtal i framtiden. [1 poäng]
b) Bestäm det största ”tursamma”
ordningsnumret som en Mattefest kan ha. Förklara varför det aldrig därefter
kommer att komma något årtal som är delbart med Mattefestens ordningsnummer.
[1 poäng]
Författarna till problemen: 1,5 - R.Zhenodarov, 2 - S.Zaitsev, 3 - A.Tolpygo, 4 - M.Vialyi