27:e Städernas Turnering

(Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem.  Summan av poängtal för delproblem adderas och räknas som ett problem. Din totala poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng. Sedan multipliceras summan med ³/₂ för åk 8, med ⁴/₃ för åk 9, med ⁴/₅ för åk 2 och med ¾ för åk 3. Problemen 8 och 9 tillgodoräknas bara i tävlingen mellan eleverna och städerna i det här landet.)

1. Ett biljardbord är utformat som en rektangel där den långa sidan är dubbelt så stor som den korta. Det finns 6 hål, dels i hörnen samt i mitten av långsidorna. Man placerar ett antal bollar på bordet på så sätt att från vart och ett av hålen kan man dra en rät linje som går igenom minst två bollar. Bestäm det minsta möjliga antalet bollar. (Betrakta både hålen och bollarna som punkter. Bollarna placeras ej på kanter.) [4 poäng]

2. Ett positivt heltal kallas för 6-igt om alla talets siffror är 6 eller större (t.ex. 7, 96, 88679 är 6-iga). Ett talpar kallas för 6-igt om båda talen samt produkten av dem är 6-iga. Visa att det finns minst ett hundra 6-iga talpar. [4 poäng]

3. En spetsvinklig triangel ABC är given. Två kongruenta rektanglar ABMN och LBCK bildas utåtriktat på sidorna AB resp. BC (AB=BL, BC=BM). Visa att de räta linjerna AL, CM och NK skär varandra i en punkt. 
[5 poäng] 

4. Finns det ett positivt heltal n sådant att den första siffran i talet 2ⁿ är 5 och den första siffran i talet 5ⁿ är 2? 
[5 poäng]

5. En tabell av format 2005×2006 fylls med talen 0, 1, 2 på så sätt att i varje rad och kolumn är summan jämnt delbart med 3. Bestäm det största möjliga antalet ettor i en sådan tabell. [6 poäng]

6. En stig är en sluten kurva på planet som inte korsar sig själv och består av cirkelbågar. Finns det en stig och en punkt A på stigen sådana att varje rät linje genom A delar stigen mitt itu, oavsett riktning (dvs den totala längden av stigens delar på det ena halvplanet är lika med den totala längden av stigens delar på det andra halvplanet)? [7 poäng]
(Förtydligande. En stig går runt ett område. Man kan promenera runt hela stigen utan att  gå igenom någon punkt två gånger. Se två exempel och ett motexempel på  bilden.)

7. a) En kvadratisk tabell på 5×5 rutor är ifylld med 25 olika heltal. Sture och Mika har var sin kopia av tabellen. Sture väljer det största talet i tabellen och stryker bort både raden i kolumnen där det utvalda talet står. Sedan väljer han det största talet bland resten och stryker bort igen både raden i kolumnen där det andra utvalda talet står. Detta upprepar han så att totalt 5 tal blir utvalda. Mika gör samma sak med sin kopia av tabellen fast väljer hela tiden det minsta talet bland de som är kvar. Kan det hända att summan av de 5 talen som Mika har valt är större än summan av de 5 talen som Sture har valt? [6 poäng]
b) En tillåten talfemma är fem tal som alla står både i olika rader och i olika kolumner. Klart att Mika väljer en tillåten talfemma. Kan det hända att för någon tabell summan av Mika's talfemma är större än summa av vilken som helst annan tillåten talfemma? [2 poäng]

Lokalt tillägg 

8. I en sjö bor abborrar och gäddor. Två fiskare fiskade tillsammans upp 70 fiskar. Andelen abborrar hos den förste var ⁸/₉ och andelen gäddor hos den andre var ²/₁₇. Bestäm hur många fiskar som den förste fiskade upp. [1 poäng]

9. I Ljugby bor bara poliser, bovar och bönder. Poliserna ljuger alltid till bönderna, bönderna ljuger till bovarna och bovarna ljuger till poliserna. Annars talar invånarna sanning. En gång dansade en del invånare ringdans och varje dansande sade till den närmste till höger "Jag är polis". Bestäm hur många bönder som fanns bland de dansade. Motivera ditt svar. [1 poäng]