. Kan man bilda en sträcka
av längden 1 med passare och oskalad linjal? [3
poäng] (Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem. Din total poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng. Poängtalen för delproblem adderas. Problemen Y6, Y7 tillgodoräknas bara i tävlingen mellan eleverna och städerna i det här landet.)
Y1. Given triangeln ABC. Beteckna med M1, M2, M3 mittpunkterna till AB, BC resp. AC, samt med H1, H2 och H3 punkterna där höjderna skär resp. sidor. Visa att man kan bilda en triangel av sträckorna H1M2, H2M3 och H3M1. [3 poäng]
Y2. 8 tal är skrivna vid 8 hörn av en kub. För varje hörn beräknas ett nytt tal som medelvärdet av tre tal som ligger vid de tre intilliggande hörn. Under ett drag ändras samtliga tal vid hörnen samtidigt mot de nya talen. Efter 10 drag fick man de 8 ursprungliga talen vid respektive hörn. Kan man dra slutsatsen att samtliga tal är lika? [3 poäng]
Y3. En enhetssträcka är delad i 11 mindre sträckor av längd a eller mindre. För vilka värden på a man kan säkert bilda en triangel av vilka som helst tre av de sträckorna?[4 poäng]
Y4. En schackpjäs gör en runda på schackbrädet av storlek 15×15. Under ett drag flyttas pjäsen 8 eller 9 rutor vågrätt eller lodrätt. Man får trampa på en och samma ruta högst en gång. Bestäm det största antalet rutor som det går att trampa på förrän pjäsen hamnar på någon ruta en gång till. (Pjäsen får starta på vilken ruta som helst.) [4 poäng]
Y5. Bland 6 likadana mynt finns exakt ett falskt som har en annan vikt än de äkta. Vikterna är tyvärr okända. Det finns en elektronisk våg som kan visa exakt vikten på viken som helst grupp av mynten. Hitta på ett säkert sätt att bestämma det falska myntet på högst tre vägningar. [5 poäng]
Y6. En talföljd bildas steg för steg så här: det första talet är 7, sedan kvadrerar man det föregående talet; räknar siffersumman, adderar 1 och skriver ner det som nästa tal. Till exempel, det andra talet är 14 eftersom 72=49 och (4+9)+1=14. Likaså det 3:e talet är 17=(1+9+6)+1. Så börjar talföljden 7, 14, 17, 20, ... Bestäm talet på den 2005:e platsen. [1 poäng]
Y7. Bestäm det minsta antalet rutor som man kan måla i en rutig kvadrat 5×5 på så sätt i vilken som helst delkvadrat av storlek 3×3 har exakt 4 målade rutor. (Hitta på ett sätt att måla och visa varför det är omöjligt att uppfylla villkoren genom att måla ett mindre antal rutor). [2 poäng]
(Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem. Din total poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng. Poängtalen för delproblem adderas. Problemen Ä6, Ä7 tillgodoräknas bara i tävlingen mellan eleverna och städerna i det här landet.)
Ä1. Kan man placera två exakta kuber bland två intilliggande exakta kvadrater? Med andra ord: finns det en lösning på olikheten : n2 < a3 < b3 < (n+1)2 i positiva heltal? [3 poäng]
Ä2. Given en sträcka av längden . Kan man bilda en sträcka
av längden 1 med passare och oskalad linjal? [3
poäng]
Ä3. Bland 6 likadana mynt finns exakt ett falskt som har en annan vikt än de äkta. Vikterna är okända, tyvärr. Det finns en elektronisk våg som kan visa exakt vikten på viken som helst grupp av mynten. Hitta på ett säkert sätt att bestämma det falska myntet på högst tre vägningar[4 poäng]
Ä4. Man bildar tre kvadrater utanför en rätvinklig
triangel ABC på så sätt att varje kvadrat har en gemensam sida med
triangeln. Låt D,E, F vara kvadraternas medelpunkter. Visa att förhållandet
mellan areorna av trianglarna DEF och ABC är
a) större än 1;
[2 poäng]
b) minst 2. [2
poäng]
Ä5. En kub låg på ett plan. Man har vält kuben över kanter ett antal gånger. Kuben hamnade på samma plats i ett läge med samma yta uppåt. Kunde det hända att den övre ytan blev vriden 90 grader jämfört med det ursprungliga läget? [5 poäng]
Ä6. Man betraktar alla funktioner på formen y=x2+ax+b, där a+b=2005. Visa att samtliga funktionsgrafer går genom en gemensam punkt. [1 poäng]
Ä7. Bestäm det minsta antalet rutor som man kan måla i en rutig kvadrat 5×5 på så sätt att vilken som helst delkvadrat av storlek 3×3 har exakt 4 målade rutor. (Hitta på ett sätt att måla och visa varför det är omöjligt att uppfylla villkoren genom att måla ett mindre antal rutor). [2 poäng]