26:e Städernas turnering, Hösten 2004, O-omgång

Facit, ledtrådar, lösningar

Grundskola och gymnasium åk 1,2

Y1. Kan man byta ordning på heltalen från 1 till 2004 på så sätt att summan av vilka som helst 10 på varandra följande tal blir jämnt delbar med 10? [3 poäng] 
                Svar                                        Ledtråd                                    Lösning

Y2. I en låda ligger 111 stycken kulor som är färgade i rött, blått, grönt och vit. Det är känt att om man, utan att titta in i lådan, tar ut 100 kulor, får man säkert kulor av alla fyra färger bland de uttagna. Bestäm det minsta antalet kulor som man ska ta ut ur lådan utan att titta på dem, för att säkert få kulor av tre olika färger. [4 poäng] 
                 Svar                                        Ledtråd                                    Lösning

Y3. Flera städer är kopplade samman med ett antal direkta busslinjer, där varje linje har endast två hållplatser - en start- och en slutstation. Jocke hade köpt biljetter till varje linje, en biljett per linje. En sådant biljett ger honom rätt att färdas en gång längs linjen i valfri riktning. Pelle hade köpt biljetter till varje linje, n biljetter per linje. De båda startade från staden A. När Jocke har använt alla sina biljetter, slutade han i en annan stad B. Pelle använde en del av sina biljetter tills han fastnade i en stad X (antingen tog hans biljetter slut eller gick det inte att lämna staden med de biljetterna som var kvar). Visa att X antingen är A, eller B. [4 poäng] 
                                                                 Ledtråd                                    Lösning

Y4. En cirkel och en rät linje är givna, som inte skär varandra. Man vet att det finns en kvadrat med två närliggande hörn som ligger på cirkeln samt två andra hörn som ligger på linjen. Hur kan man bilda en sådan kvadrat med hjälp av passare och linjal? [5 poäng] 
                                                                 Ledtråd                                    Lösning

Y5. Hur många sätt finns det att presentera 2004 som en summa av nästan lika positiva heltal? Vi kallar två tal nästan lika om skillnaden mellan dem är högst 1. Två sätt räknas som samma om de bara skiljer sig på ordningsföljden av talen. [5 poäng] 
                 Svar                                        Ledtråd                                    Lösning

Lokalt tillägg 

Y6. En tärning har talen 1 till 6 på sidoytorna. Tärningen kastades två gånger. Första gången blev summan av talen på fyra lodräta sidoytorna lika med 12, andra gången lika med 15. Bestäm talet på den yta som ligger mittemot ytan med talet 3. [1 poäng] 
                 Svar                                        Ledtråd                                    Lösning

Y7. Ett kassaskåp kan öppnas med en kod som består av 7 siffror. Det är känt att siffrorna bara är tvåor eller treor, att det finns fler tvåor än treor samt att kodtalet är jämnt delbart både med 3 och med 4. Bestäm samtliga kodtalen som kan öppna kassaskåpet. [2 poäng]
                 Svar                                        Ledtråd                                    Lösning

Gymnasium åk 3

(Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem. Din total poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng. Poängtalen för delproblem adderas. Problemen Ä6, Ä7 tillgodoräknas bara i tävlingen mellan eleverna och städerna i det här landet.)

Ä1. Tre cirklar går genom punkt X. Punkter A, B, C  är cirklarnas skärningspunkter som är skilda från X. Punkt A' är den andra skärningspunkt av den räta linjen AX med den cirkeln som är omskriven kring triangeln BCX. På motsvarande sätt definieras punkterna B' och C'. Visa att trianglarna ABC', AB'C och A'BC är likformiga. [3 poäng]
                                                                 Ledtråd                                    Lösning

Ä2. I en låda ligger 100 stycken kulor som är färgade i rött, blått och vitt. Det är känt att om man tar ut 26 kulor utan att titta in i lådan, får man säkert 10 kulor av samma färg bland de uttagna. Bestäm det minsta antalet kulor som man måste ta ut ur lådan utan att titta på dem för att säkert få 30 kulor av samma färg bland de uttagna. [3 poäng]
                 Svar                                        Ledtråd                                    Lösning

Ä3. Givet två polynom P(x) och Q(x) av grad minst 1. Man vet att de uppfyller två identiteter: P(P(x))=Q(Q(x)) och P(P(P(x)))=Q(Q(Q(x))). Är det då säkert att även identiteten P(x)=Q(x) är uppfylld? [4 poäng]
                 Svar                                        Ledtråd                                    Lösning

Ä4. Hur många sätt finns det att presentera 2004 som en summa av nästan lika positiva heltal? Vi kallar två tal nästan lika om skillnaden mellan dem är högst 1. Två sätt räknas som samma om de bara skiljer sig på ordningsföljden av talen. [4 poäng]
                 Svar                                        Ledtråd                                    Lösning

Ä5. För vilka värden på N kan man byta ordning på heltalen från 1 till N så att medelvärdet av vilka som helst 2 eller fler på varandra följande tal blir bråktal? [5 poäng]
                 Svar                                        Ledtråd                                    Lösning

Lokalt tillägg

Ä6. Hitta ett exempel på tre positiva rationella tal  a/b , c/d , e/f  där a/b + c/d +e/f = 1, heltalen a, c, e är olika,  och summan av inverser b/a + d/c +f/e är ett heltal. [2 poäng]
                 Svar                                        Ledtråd                                    Lösning

Ä7. Skär parallelltrapetsen på bilden i tre delar och lägga ihop dem till en kvadrat. Förklara varför delarna inte övertäcker varandra och inte glappar heller. [2 poäng]
                                                                  Ledtråd                                    Lösning