(Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem. Din total poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng.)
Y1. I parallelltrapetsen ABCD är baserna AD och BC parallella. En punkt K är given på sidan AB. Man drar linjen l genom hörnet A parallellt med linjen KC, samt linjen m genom hörnet B parallellt med linjen KD. Bevisa att skärningspunkten av linjerna l och m ligger på sidan CD. [4 poäng]
Y2. Sten räknade ut produkten av de n första positiva heltalen, medan Viktor räknade ut produkten av de m första jämna positiva heltalen (både n och m är större än 1). De fick samma resultat. Visa att åtminstone en av dem har fel. [4 poäng]
Y3. Kolja fick veta att två mynt bland fyra mynt han hade var falska. Han vet att alla äkta mynt har samma vikt och att även alla falska mynt har samma vikt samt att ett falskt mynt är lättare än ett äkta mynt. Är det möjlig för honom att bestämma om han verkligen har precis två falska mynt om Kolja får använda balansvåg utan vikter endast två gånger? [4 poäng]
Y4. På en öst-västlig linje seglar tio båtar med olika mellanrum. Från väster sett seglar den 5 första båtar österut och dem 5 övriga seglar mot västerut. Alla båtar seglar med samma hastighet hela tiden. Om två båtar möter varandra vänder varje båt åt motsatt håll. Hur många möten blir det sammanlagt? [4 poäng]
Y5. På ett plan är ett antal (minst 4) skilda punkter givna. Om man suddar bort vilken som helst av de givna punkterna blir de övriga spegelsymmetriska kring någon axel. Kan man då påstå att de alla givna punkterna också nödvändigvist är spegelsymmetriska kring en viss axel? [4 poäng]
Ä1. En höjd i en pentagon är sträckan mellan ett hörn och en punkt på motstående sidan som är vinkelrät mot sidan. En median är sträckan mellan ett hörn och mittpunkten på motstående sidan. Visa att om alla 5 höjder och alla 5 medianer i en konvex pentagon har samma längd då är pentagonen regelbunden. [4 poäng]
Ä2. Man kan som bekant välja 1000 på varandra följande positiva heltal som alla är ej primtal, till exempel 1001!+2, 1001!+3, ... ,1001!+1001. Är det möjligt att välja 1000 på varandra följande positiva heltal så att det blir precis 5 primtal bland dem? [4 poäng]
Ä3. På en öst-västlig linje seglar tio båtarmed olika mellanrum. Från väster sett seglar den 5 första båtar österut och dem 5 övriga seglar mot västerut. Alla båtar seglar med samma hastighet hela tiden. Om två båtar möter varandra vänder varje båt åt motsatt håll. Hur många möten blir det sammanlagt?[4 poäng]
Ä4. På toppytan av en tunn kvadratisk tårta ligger ett antal triangulära chokladbitar som inte nuddar varandra. Är det alltid möjligt att skära tårtan i konvexa polygoner så att precis en chokladbit hamnar på varje del? (Betrakta tårtan som en kvadrat utan tjöcklek. En polygon är konvex om den omfattar varje sträcka som har sina ändpunkter i polygonen. Man får skära i olika tårtbitar.) [4 poäng]
Ä5. 8 schackbrädet är tre torn. Ett av tornen startar på den nedersta vänstra rutan, de två övriga startar i de intilligande rutorna till höger respektive uppåt (se figuren Start). Tornen får förflyttas enligt vanliga regler, det enda vilkoret är att efter varje drag borde varje torn vara skyddat av något annat torn. Kan tornen så småningom sluta i de tre rutorna vid den översta högra hörnet så att varje torn slutar precis i den rutan som är spegelsymmetrisk till tornets startruta kring diagonallinjen mellan de nedersta högra och översta vänstra hörnen (se figuren Slut)?
(Varje torn får forflytta sig till en tom ruta i samma lodrät eller vågrät rad utan att hoppa över ett annat torn. Torn skyddar varandra om de står i samma lodrät eller vågrät rad. Torn få forflyttas i godtycklig ordning, ett torn får göra flera drag i rad.) [4 poäng]
|
|
| Start | Slut |