(Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem. Din total poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng.)
Y1. Finns det sådana positiva heltal a1 < a2 < a3 < ... < a100 att SGD(a1,a2) > SGD(a2,a3)> ... > SGD(a99,a100)? (SGD(a,b) står för största gemensama divisorn för talen a och b, dvs största positiva heltalet som både a och b är jämnt delbart med.) [4 poäng]
Y2. På en cirkel ligger 2N punkter som är alternerande gula och blåa. De delar cirkeln i 2N bågar. Varje båg har en av tre möjliga längder, alttså a, b eller c, och varje två intilliggande bågar har olika längder. Visa att N-gonen med gula hörn har samma omkrets och samma area som N-gonen med blåa hörn. [5 poäng]
Y3. En tabell av formatet (n–2)×n (där n>2) är given. I varje ruta står en av heltalen från 1 till n, och i varje rad samt i varje kolonn är alla tal olika. Visa att man kan tillägga två nya rader till tabellen och fylla dem med tal från 1 till n på så sätt att även i den nya tabellen av formatet n´ n blir alla tal i varje rad och varje kolonn olika. [5 poäng]
Y4. Ett antal diagonaler
i en regelbunden (2n+1)-gon
skär inte varandra. De diagonalerna delar (2n+1)-gonen
i 2n-1 trianglar.
Visa att minst tre av delarna är likbenta trianglar. [5
poäng]
Y5.
Sasja sätter torn på ett tomt schackbräde enligt följande regler: det första
tornet får sättas på vilken som helst ruta, sedan varje torn måste angripa
ett udda antal torn som har varit satt tidigare. Bestäm det största möjliga
antalet torn som Sasja kan sätta på schakbrädet? (Som bekant, två torn
angriper varandra om de står på samma lodrät eller vågrät rad och det inte
står något annat torn de emellan) [6 poäng]
Y6.
Det finns ett antal tal i en rad. Varje sekund väljer outtrötlig Robert ett
par av intilliggande tal i vilket det vänstra talet är större än det högra
talet, fördubblar båda talen och byter plats på dem. Visa att det blir omöjligt
att välja ett sådant par efter ett tag. [8 poäng]
Ä1. På ett
plan är given en triangel med gula hörn samt en triangel med blåa hörn.
Det finns en punkt O som ligger
inuti båda trianglarna och avståndet från O
till varje rött hörn är mindre än avståndet från O
till vilken som helst blått hörn. Kan det hända att alla 6 hörnen (både blåa
och gula) ligger på samma cirkel? [4 poäng]
Ä2. Finns det sådana positiva heltal a1<a2<a3< ... <a100 att MGM(a1,a2) > MGM(a2,a3)> ... > MGM(a99,a100)? (MGM(a,b) står för minsta gemensama multipel för talen a och b, dvs minsta positiva heltalet som är jämnt delbart med både a och b.) [5 poäng]
Ä3. Rutorna på ett
schackbräde är numrerade från 1 till 64. Nummer med skillnaden 1 står alltid
i inilliggande rutor i en lodrät eller vågrät rad. Bestäm den minsta möjliga
summan av numren på en huvuddiagonal? [6 poäng]
Ä4. Låt F1
vara en godtycklig konvex fyrhörning. För k>1,
Fk konstrueras genom att man skär Fk-1 i två
delar längs en av dess diagonaler, vänder på en av delarna och sedan klistrar
delarna samman längs samma diagonal. Bestäm det största möjliga antalet
icke-kongruenta fyrhörningar i följden {Fk}? [6
poäng]
Ä5. Låt både d
och a
vara
icke-negativa heltal. För varje positiv heltal n
innehåller talet
a+nd en svit av siffror med värdet
n (dvs det finns
siffran 1 i a+d,
siffran 2 i a+2d,...,
gruppen av siffror 2001 i a+2001d
osv). Visa att d är
en tiopotens. [7 poäng]
Ä6. 23 lådor står i en
rad, och för varje k
från 1 till 23
det finns en låda som innehåller precis k
kulor. Vid varje drag får man fördubbla antalet kulor i en låda genom att
flytta de från en annan låda som innehåller fler kulor. Är det möjligt att
efter ett tag sluta med 1 kula i den första lådan, 2 kulor i den andra lådan
osv 23 kulor i den 23:e lådan? [7 poäng]
Ä7.
På talplanet ligger en triangel med hörn i punkterna (x1,y1),
(x2,y2)
samt (x3,y3).
Om man förflyttar den triangeln med vektorn (h,
k), då får man
triangeln med hörn i punkterna (x1+h,y1+k),
(x2+h,y2+k)
samt (x3+h,y3+k).
Det visade sig att om vi förflyttar den ursprungliga triangeln med en
godtycklig vektor som är skild från (0, 0) och har heltalskoordinater, då överlappar
de ursprungliga och förflyttade trianglarna inte varandra (dvs de trianglarna
har inga INRE gemensamma punkter, medan de får ha gemensamma gränspunkter).
a)
Kan en sådan triangeln ha arean som är större än 1/2? [3
poäng]
b) Bestäm den maximala möjliga arean hos en sådan triangel? [6 poäng]