22:a  Städernas Turnering, våren 2001, O-omgång

Stockholm den 10 mars

Grundskola och gymnasium åk 1

(Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem. Din total poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng. Poängtalen för delproblem adderas.)

Y1. Man får byta ett positivt heltal n till talet ab, om a+b=n och både a och b är positiva heltal (till exempel, man får byta 10=3+7 med 21=3×7). Kan man få talet 2001 från talet 22 med sådana operationer? [3 poäng]

Y2. I en triangeln är en av sträckorna mellan två av sidornas mittpunkter längre än en av medianerna. Visa att triangeln har en trubbig vinkel. 
[4 poäng]

Y3. En affär skaffade 20 kg delikatessost. Det står en kö av kunder för att köpa osten. Efter varje kund som köpte ost räknar kassörskan ut den genomsnittliga vikten av de tidigare kundernas inköp. Sedan meddelar hon kön för hur många kunder den kvarvarande osten skulle räcka om varje person köper precis medelvikten. Kan det hända att efter varje av de 10 första kunderna upprepar kassörskan att osten skall räcka precis till 10 kunder? Hur mycket ost finns det i så fall kvar efter att de 10 kunderna gjort sina inköp? (Kassörskan räknar alltid rätt. Medelvikten räknas ut som total vikt av såld ost delat med antalet kunder som köpte den). [4 poäng]

Y4. a) Det ligger 5 lika papperstrianglar på bordet. Man får flytta varje triangeln åt alla håll utan att vrida den. Är det sant att man kan täcka vilken som helst av trianglarna med de 4 övriga? [2 poäng]
b) Det ligger 5 lika liksidiga papperstrianglar på bordet. Man får flytta varje triangeln åt alla håll utan att vrida den. Visa att man kan täcka vilken som helst av trianglarna med de 4 övriga. [3 poäng]

Y5. På ett schackbräde av storlek 15×15 står 15 torn som inte angriper varandra. Varje torn gör ett drag som en springare. Visa att efter detta kan man alltid finna två torn som angriper varandra. (Förtydligande. Två torn angriper varandra om de står i samma vertikala eller horisontella rad. Springaren gör ett drag så här: till en närliggande ruta diagonalt, sedan till en angränsande ruta vertikalt eller horisontellt bort från den ursprungliga rutan). [5 poäng]

Gymnasium åk 2 och 3

Ä1. En buss skall åka 100 km. En dator i bussen förutspår hur mycket tid som återstår av resan. Den tiden räknar datorn ut genom antagandet att medelhastighet på den kvarstående delen av vägen blir densamma som på den avverkade delen. Efter de första 40 minuterna började datorn visa att kvarstående tid är lika med 1 timme, och fortsätter att visa det de närmsta 5 timmarna. Kan det vara sant? Om ja, bestäm hur många kilometer bussen hade avverkat efter de 5 timmarna. (Medelhastighet på en sträcka räknas ut som längden av sträckan genom tiden det tog att avverka sträckan.) [3 poäng]

Ä2. Ett positivt heltal a skrivs med n decimalsiffror och a3 skrivs med m decimalsiffror. Kan n+m vara lika med 2001? [4 poäng]

Ä3. I triangeln ABC ligger punkten X på sidan AB och punkten Y på sidan BC. Sträckorna AY och CX skär varandra i punkten Z. Man vet att AY=YC och AB=ZC. Visa att de fyra punkterna B, X, Z och Y ligger på en och samma cirkel. [4 poäng]

Ä4. Två personer spelar på ett rutigt spelbräde av storlek 3×100. De turas om att lägga dominobrickor av storlek 1×2 på lediga rutor. Den förste spelaren får lägga dominobrickor på spelbrädet längsvis , den andre på tvären. Den som inte kan göra ett drag förlorar. Vem av spelarna kan garantera sig en seger oavsett motståndarens spel? Hur skall vinnaren spela? [5 poäng]

Ä5. 9 punkter ligger på ytan av en regelbunden tetraeder med sida 1 cm. Visa att man kan välja två av punkterna med avståndet (i rummet) sinsemellan högst 0,5 cm. [5 poäng]

Författarna till problemen: Y1- V. Klepcin,  Y2,Y4 - A.Shapovalov,  Y3.Ä1 - I.G. Rybnikov,  Y5 - S. Berlov, Ä2 - G.Galperin, Ä3 - R.Zhenodarov, 
Ä4 - V. Trushkov, Ä5 - V.Proizvolov