22:a Städernas Turnering , våren 2001, A-omgång

Stockholm den 25 mars

Grundskola och gymnasium åk 1

(Inom hakparenteser står den maximala poängen för varje problem. Din total poängsumma utgörs av de tre uppgifter för vilka du får flest poäng. Poängtalen för delproblem adderas.)

Y1. I ett land finns det 10% av alla förvärvsarbetande som tillsammans får 90% av total lön i det här landet. Kan det hända att i varje län i detta land lön av vilka som helst 10% förvärvsarbetande är högst 11% av total lön i det här länet? [3 poäng]  

Y2. Det finns tre högar, den första består av 51 kulor, den andra av 49 kulor, den tredje av 5 kulor. Man får göra operationer av två sort. Antingen får man lägga ihop vilka som helst två högar i en hög. Eller får man dela i två lika högar en hög som består av ett jämnt antal kulor. Kan man genom sådana operationer få 105 högar med en kula i varje hög? [5 poäng] 

Y3. I en vinkel med hörnpunkten M ligger punkten A. En ljusstråle utgår från A, reflekteras från det ena vinkelben i punkten B, sedan från det andra vinkelben i punkten C och kommer tillbaka till A. (Som vanlig, är infallsvinkel lika med utfallsvinkel). Cirkeln skrivas om triangeln BCM. Visa att medelpunkten i denna cirkel ligger på rätlinjen AM.  [5 poäng] 

Y4. Man ritar en konvex polygon på en tavla och drar ett antal diagonaler så att de inte skär varandra inuti och delar polygonen i trianglar. Sedan skriver man vid varje hörn av polygonen ett tal, vilket visar hur många trianglar har det här hörnet som sitt hörn. Efteråt suddas alla diagonaler bort. Är det möjlig att återställa alla diagonaler med hjälp av detta tal?  [5 poäng] 

Y5. a) En vit och en svart bonde sättas på två rutor av schackbrädet. Man får flytta dem i tur och ordning till vilken som helst intilliggande vågrät eller lodrät ledig ruta. Kan man så småningom gå igenom alla möjliga ställningar precis en gång? [5 poäng] 

b) Samma fråga om man får flytta bönderna i vilken som helst ordning (d v s utan att nödvändigtvis tura de)? [4 poäng]

Y6. Skärningspunkten där alla tre höjderna i en triangel skär varandra kallas för orthocentrum. I triangeln ABC är höjderna AHA, BHB samt CHC dragna. I trianglarna AHBHC, BHAHC samt CHAHB markeras orthocentra. Visa att de markerade punkterna bildar triangeln som är kongruent till triangel HAHBHC. [7 poäng] 

Y7. Alex tänker på ett tvåsiffrigt heltal (d v s från 10 till 99). Gregory försöker gissa talet. Vid varje försök anger han ett tvåsiffrigt tal. Om gissningen är rätt eller den ena siffra är rätt och den andra skiljer sig maximalt med ett från den rätta siffran då svarar Alex ”bra”, annars svarar han ”dåligt”. (Till exempel, om Alex tänker på talet 65, då svarar han ”bra” bara om Gregori anger en av talen 65, 64, 66, 55, 75).

a) Visa att det finns inget säkert sätt att bestämma det påtänkta talet efter 18 försök. [2 poäng]

b) Finna ett sätt att säkert bestämma det påtänkta talet efter 24 försök (oavsett vilket tal har Alex tänkt på) [3 poäng]

c) Kan man göra samma sak efter 22 försök? [3 poäng]

Gymnasium åk 2 och 3

Ä1. Finn ett exempel av polynom P(x) av  grad 2001 vilket uppfyller likheten P(x)+P(1–x) för varje x. [3 poäng]  

Ä2. Efter läsårets slut visade det sig att i varje grupp som består minst av fem elever det finns en del av dem (högst 20% av alla) som fått 80% av alla ”ig” i den här gruppen. Visa att det finns en elev i klassen som fått minst 3/4 av alla ”ig” i den här klassen. [5 poäng]  

Ä3. Skärningspunkten där alla tre höjderna i en triangel skär varandra kallas för orthocentrum. I triangeln ABC är höjderna AHA, BHB samt CHC dragna. I trianglarna AHBHC, BHAHC samt CHAHB markeras orthocentra. Visa att de markerade punkterna bildar triangeln som är kongruent till triangel HAHBHC. [5 poäng] 

Ä4. Två tabeller är givna, varje består av m rader och n kolumner. I varje ruta i tabellerna står antngen 0 eller 1. Om man går längst en rad från vänster till höger då blir varje tal lika eller större än den föregående. Samma sak gäller om man gor längs en kolumn nedåt. Antal ettor är lika i båda tabellerna. För varje k från 1 till m summan av alla tal i dem k översta raderna av tabellen A är lika eller större än summan i dem k översta raderna av tabellen B. Visa att för varje l från 1 till n är summan i dem l första kolumner från vänster av tabellen A är lika eller mindre än i dem l första kolumner från vänster av tabellen B. [5 poäng] 

Ä5. I en schackturnering varje deltagare spelar precis ett parti med varje annan deltagare. Man får en poäng för seger, halpoäng för remi och 0 poäng för nederlag.

a) Kan det hända att för varje deltagare summan poäng av dem som han/hon besegrade är större än summan poäng av dem som han/hon förlorade mot. [4 poäng]

b) Kan det hända att för varje deltagare summan poäng av dem som han/hon besegrade är mindre än summan poäng av dem som han/hon förlorade mot. [4 poäng]

Ä6. Visa att det finns 2001 konvexa polyedrar i rymmet så att inga tre av dem har en gemensam punkt medan varje två tangerar varandra (d v s har minst en gemensam punkt på yta men har inga gemensamma punkter inuti). [8 poäng]

Ä7. Ett antal lådor står i ring. I varje låda kan ligga 0, 1 eller flera kulor. Ett drag görs så här: man väljer en låda, tar alla kulor från den och lägger en kula i varje låda medsols börjande från nästa lådan.

a) Låt vid varje drag (utom den förste) får man ta kulor bara från den låda som sista kulan hamnade i vid det föregående draget. Visa att efter ett tag återstås den ursprunliga ställningn (d v s det blir samma antal kulor i varje låda som det varit från början). [4 poäng]

b) Låt nu vid varje drag får man ta kulor från vilken som helst låda. Är det sant att man kan få vilken som helst ställning från den ursprunliga ställningen?  [4 poäng]

Författarna till problemen: Y1,Ä2 - M.Vyalyi , Y2 - V.Klepcin, Y3 - A.Zaslavski, I.Sharygin, Y4 - S.Zajtsev, Y5 - A.Shapovalov, Y6,Ä3 - A.Akopjan, Y7,Ä1 - folklör, Ä4,Ä6 - A.Kanel-Belov, Ä5 - A.Tolpygo, Ä7 - V.Gurovic