Övningstal till den 23 Städernas turnering,

högstadiet

Del 1. Aritmetiska tal

1.1 Ett kärl som är fullt med vatten väger 5 kilo, medan samma kärl som är halvfullt väger bara 3,25 kilo. Hur mycket vatten rymmer det fulla kärlet?

1.2 En gång i tiden kostade nio lika vykort mindre än 10 kronor, medan 10 samma kort kostade mer än 11 kronor. Bestäm hur mycket kostade ett vykort. (Varje vykort kostade ett helt antal öre, och det var ingen rabatt vid inköp av flera kort). 

1.3 Man lägger 100 kronor på ett bankkonto.  I vilket av två fall får man större avkastning: om banken lägger 7% till pengarna på konto en gång per år eller om banken lägger 7/12 % till pengarna på konto varje månad?

1.4 Städerna A och B ligger vid samma flod på avståndet 10 km sinsemellan. Vilken resa tar mer tid för en och samma ångare: från A till B och tillbaka, eller 20 km över en sjö?

1.5 Det tar en halvtimme för fröken Bock att äta upp en tårta, Lillebror klarar det på en timme och för Carlsson tar det bara 5 minuter. Hur lång tid tar det för dem att äta upp ett likadant tårta tillsammans?   

Del 2. Dividera jämt eller med en rest

2.1 En gräshoppa får hoppa åt båda håll på en rät linje. Ett hopp får vara antingen 6 cm eller 8 cm lång. Kan gräshoppan komma till en punkt som ligger på avsåndet
a)    7 cm;
b)    4 cm
från startpunkten?

2.2 Sten river en tidning sönder i 8 delar, sedan river han en av delarna i  8 delar osv. Är det möjligt att efter ett tag få exakt 2002 delar?

2.3 Om man dividerar ett tal med 2 får man resten 1. Om man dividerar samma tal med 3 får man resten 2. Nu dividerar man detta tal med 6. Bestäm resten.

2.4 Visa att k³-k är jämnt delbart med 6 för varje heltal k.

2.5 Bestäm slutsiffran i talet 3²⁰⁰².

Del 3. Kombinatorik

3.1 a) Ett staket består av 20 plankor. Varje planka ska målas antingen blå eller grön eller röd. Intilliggande plankor ska målas olika. Hur många sätt finns det att måla hela staketet?
b) Samma fråga om det måste finnas minst en blå planka.

3.2 En klass består av 25 elever. Hur många sätt finns det att välja bland dem
a) en jourhavande och en ordförande;
b) två jourhavande;
c) tre jourhavande?

3.3 Peter har 5 matematiska böcker och Sten har 7 sådana. De vill byta ut två böcker mot två. På hur många sätt kan de göra ett sådant utbyte?

3.4 I ett vardagsrum finns det 5 olika lampor, varje lampa kan vara på eller av. På hur många sätt kan man belysa vardagsrummet?

3.5 I skolbespisning är man tvungen att välja bland samma 10 maträtter dag in dag ut. Peter bestämde att ha olika uppsättningar av dessa maträtter varje dag så långt som möjligt.
a) Bestäm det största antalet dagar.
b) Hur många maträtter sammanlagt skall han äta upp under dessa dagar?

Del 4. Lådprincipen

4.1 En klass består av 25 elever.
а) Visa att man kan alltid finna två elever som filler år samma månad.
b) Kan man säkert påstå att det finns tre sådana elever?

4.2 15 barn plockade 100 nötter sammanlagt. Visa att det finns två barn som plockade samma antal nötter.

4.3 Det finns 10 positiva heltal, inget av dem är jämnt delbart med 10. Visa att man kan välja
a) 2 av dem med skillnaden som är jämnt delbart med 10;
b)* 2 eller flera av dem med summan som är jämnt delbart med 10.

4.4 Man valde 26 tal bland talen 1, 2, ... , 49, 50. Är det säkert att bland de valda finns två tal med skillnaden 1?

4.5* Kan man täcka en liksidig triangel med två mindre liksidiga trianglar?

Del 5. Logiska tal  

5.1 Man har till sin förfogande bara två kärl utan skalmarkeringar med volymerna 3 liter resp. 5 liter. Kan man hälla i det största av kärlen exakt 4 liter vatten från en kran?  

5.2 Stryck bort 7 siffror i talet 3141592653589793 så att det kvarstående talet blir så stort som möjligt.

5.3 Vi råkade höra ett samtal:
- Dan har mer än ett tusen böcker!
- Nej, han har mindre än ett tusen böcker.
- Visst har han åtminståne en bok.
Det visade sig att exakt ett av påståenden ovanför är sant. Hur många böcker kan Dan ha?

5.4 Sten hade 7 potatisar, Peter hade 5 potatisar medan Kalle hade inga potatisar alls. De kokade allt och delade det jämnt. Som tack gav Kalle till Sten och Peter 12 godis. Hur skulle de dela på godisen på ett rättvist sätt? (Antag att alla potatisar vara lika stora, samma gäller godis).

5.5 Bågskyttävlingen ägde rum under två dagar. På den första dagen fick varje deltagare så många poäng som de övriga deltagrna på den andra dagen sammanlagt. Visa att alla deltagare fick samma antal poäng under hela tävlingen.

Del 6. Geometri

6.1 Rita på ett plan
a) 4;
b) 5;
c) 6 punkter
på så sätt att varje tre av dem bildar hörn till en likbent triangel.

6.2 a) Man skär ett plan längs tre räta linjer. Hur många delar kan man få? Rita ett exempel till varje möjligt svar.
b) Samma fråga för fyra räta linjer.

6.3 I triangeln ABC är vinkeln B rät samt AB=BC=1. På sidan AC väljs punkt D, sedan beräknas summan av avstånden från D till sidorna AB samt BC. Kan man bestämma resultatet i förväg?

6.4 Är det möjligt att dela någon triangel i två mindre spetsvinkliga trianglar?

6.5 Man har ett ark av rutigt papper, en penna och en linjal. Hur kan man rita en kvadrat som har arean lika med arean av 5 rutor.

6.6 I en triangel är två mittpunkter på sidor markerade. Man har en penna och en ensidig linjal utan skalmarkeringar. Hur kan man finna mittpunkten på den tredje sidan?

6.7 I parallelltrapetsen ABCD är basen AD större än basen BC. Vilken av vinkelsummor är störst: A+D eller B+C?

6.8 Vi kallar en höjd i en triangel kort om den höjden är kortare än sidan som är vinkelrät mot höjden. Bestäm vinklarna i en triangel som har två korta höjder.

6.9 Utanför enhetskvadraten ABCD bildas en liksidig triangel AKB. Bestäm radien av cirkeln som är omskriven kring triangeln CKD.

Del 7. Blandade tal

7.1 En kung med ett följe promenerar från en köping K till en by B med hastigheten 5km i timmen. Varje timslag skickar han ett ilbud till B. Ilbuden springer 20 km per timme. Med vilka mellanrum ankommer illbuden till B? 

7.2 Ett skogsavverkninsföretag vill avverka en tallskog, men miljöaktivisterna börjar att protestera. Då försöker företagets VD lugna ner dem: “99% av träden i skogen är tallar. Vi kommer endast att såga ner tallar. När vi blir färdiga kommer 98% av alla kvarstående träd att vara tallar.” Hur stor andel av skogen planerar företaget att avverka?

7.3 – Vår klass består av 25 elever, och varje elev har exakt 7 kompisar bland dem!
- Omöjligt! – svarar Viktor (som vann första priset på en mattetävling) genast till sin polare. Varför är Viktor så säker?

7.4 Summan av kvadrater på två heltal är jämnt delbart med 3. Visa att varje av de talen är också jämnt delbart med 3.

7.5  I ett land finns det bara 15 städer, varje är kopplad med direkta trafikled till minst 7 andra städer. Visa att man kan göra en resa mellan vilka som helst två städer antingen direkt eller genom endast en mellanstad.

7.6 En klass består av 28 elever. Varje flicka har 4 kompisar bland pojkarna samt varje pojke har 3 kompisar bland flickorna. Hur många pojkar och hur många flickor finns det i klassen? 

7.7 En klass består av minst två elever. Visa att det finns två elever som har samma antal kompisar i klassen.

7.8 a) Bestäm hur många tal det finns bland heltalen 1 till 1000 som har inga treor bland sina siffror. Bestäm också hur många tal har minst en trea?
b) Bestäm hur många tal bland heltalen 1 till 1000 har både 1 och 2 bland sina siffror.

7.9 Ett runt halsband skall bestå av 5 glaspärlor. Hur många olika halsband kan sammansättas om man har ett obegränsat förråd med blåa och gula glaspärlor?

7.10 Kan man fylla i tabellen av format 5´. 5 med tal på så sätt att i varje kolumn summan blir lika med 8 samt i varje rad summan blir lika med 9?  

7.11 Kvadraten av storlek 8 är sammansatt av dominobrickor av format 1´. 2. Visa at man kan alltid hitta två intilliggande brickor vilka bildar en kvadrat av storlek 2.

7.12 Det finns 2002 heltal. Man vet att summan av vilka som helst 23 av detta tal är positiv. Visa att totalsumman är också positiv.

7.13 Kan man skära ett antal cirklar av en kvadrat med sidan 1 dm så att summan av deras diametrar blir större än 5 m?

7.14 Två stentrappor har samma höjd 1 m och baser av samma längd 2 m. Den första trappan består av 7 trappsteg, den andra av 9 trappsteg. En golvmatta är tillräklig lång för att täcka den första stentrappan. Räcker golvmattans längd till den andra stentrappan?

7.15* En kub med kanten 3 kan lätt sågas itu i 27 enhetskuber med 6 sågningar: två gånger lodrätt, två gånger vågrätt samt två gånger på tvären. Kan man minska antalet sågningar om man får ändra ställning av avsågade delar gentemot varandra mellan sågningarna?