(ledaren Alexandre Chapovalov)
1.
a) En kvadrat av storlek 3x3 placeras på ett schackbräde av storlek 8x8
på så sätt att den täcker exakt 9 rutor. Den vänstra nedersta täckta rutan
målas. Sedan flyttas kvadraten och en ruta till målas o.s.v. så länge det
är möjligt. Vilka och hur många rutor blir målade? Svar
b) På hur många sätt kan man placera en kvadrat av
storlek 3x3 på ett schackbräde av storlek 8x8 på så sätt att den täcker
exakt 9 rutor? Svar
2.
a) Det finns en stor tillgång av gula och blåa byggklossar på en dagis.
Barnen har tagit klossarna 5 stycken var och byggde var sitt torn. Hur många
olika färgade torn kunde byggas? Svar
b) På en mattecirkel deltar 5 elever. Efter varje
lektion skriver läraren en lista på dem som har varit med denna gång. Bestäm
det största antalet olika listor. Svar
3.
а) Hur många fyrsiffriga tal består av olika siffror 1,2,3,4?
Svar
b) På hur många sätt kan man besöka samtliga hörn av
en kvadrat en gång var om man endast får gå längs kanterna och diagonalerna
och inte får vända i mittpunkten? Svar
c) På hur mänga sätt kan man placera fyra torn på
ett schackbräde av storlek 4x4 utan att de hotar varandra? Svar
4.
а) Åtta mynt ligger på en rad. På hur mänga sätt kan man placera 2
tändstickor mellan mynten om man inte får lägga båda tändstickorna i samma
mellanrum? Svar
b) På hur mänga sätt kan man dela in ett rutigt band
av format 1x8 i tre mindre band som omfattar hela antal rutor? Man betraktar
sätten som lika om de vänstra delarna är lika stora sinsemellan samt de
högra delarna är lika stora. Svar
c) Hur många lösningar i positiva heltal har ekvationen
x+y+z=8 ? Svar
d)* Hur många lösningar i icke-negativa heltal har
ekvationen x+y+z=5 ? Svar
5. Ett heltal betraktas som dåligt om vilken som helst summa av ett par intilliggande siffror är jämn. Bestäm antalet dåliga 7-siffriga tal som slutar med 7. Svar
6. På hur mänga sätt kan man dela in ett rutigt band av format 1x10 i fyra mindre band som alla omfattar olika antal hela rutor? Svar
7.
а) Kontrollera att C(5,0)+C(5,1)+C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5)=25
b)* Visa för ett godtyckligt positivt heltal N att
C(N,0)+C(N,1)+C(N,2)+...+C(N,N)=2N.
8. Visa att diagonaler i en10-hörning kan skära varandra i högst С(10,4) punkter.