(ledaren Alexandre Chapovalov)
Oordnade urval. Om det finns N stycken föremål bland vilka vi
ska välja
k stycken kan detta val göras på C(N,k) sätt (utläses "C
av k ur N"). Den ordning man väljer spelar ingen
roll. Eftersom man kan ordna k stycken föremål
på k! sätt, fås det
k! ordnade urval ur ett enda oordnade urval. Sambandet
mellan antalen ordnade och oordnade urval är då: C(N,k)·k! = Nk.
Således är antalet oordnade urval av k ur N
C(N,k) = N(N-1)(N-2)...(N-k+1) / k!
(exakt k stycken faktorer både i täljaren och i nämnaren).
Övningar
1. Beräkna
a) 102 Svar
b)
C(10,2). Svar
2. Beräkna
a) 93 Svar
b)
C(9,3) Svar
c) 93 / C(9,3) Svar
3. Det finns 9 föremål att välja från. Hur många sätt finns
det
а) att skapa en ordnad lista av tre föremål? Svar
b) att välja en uppsättning av tre föremål (en ordning spelar ingen
roll)? Svar
4. Ett lag består av 10 spelare. Hur många sätt finns det
а) att välja en kapten och en ställföreträdare? Svar
b) att välja två jourhavande spelare? Svar
5. Ett lag består av 10 spelare. På hur många sätt kan man välja åtta av dem som ska spela i närmaste matchen? Svar
6. Beräkna C(9,6). Förklara, varför svaret är detsamma som ett av föregående svaren. Svar
7. I en lottsedel "4 ur 12" ska man markera 4 stycken nummer från 1 till 12. Vid en vinstdragning också väljs 4 nummer slumpvis. Den som markerat rätt alla fyra får ett huvudpris. Hur många låttsedel måste man fylla i för att garanterat vinna ett huvudpris? Svar
Uppgifter
8. Beräkna С(1001,3) / С(1001,2) Svar
9. I en kapplöpning deltar 12 hästar. En åskådare får fylla i en sedel där denne ska markera 4 hästar. Man vinner en miljon om alla fyra markerade hästar kommer som de fyra första. Peter har fått ett tips om två hästar som säkert inte kommer bland fyra första. Hur många låttsedel måste Peter fylla i för att garanterat vinna em miljon? Svar
10. Ett lag består av 15 spelare Peter inräknad. Man måste välja
11 spelare till närmaste matchen. På hur många sätt kan man välja
а) om Peter ska vara med? Svar
b) om Peter inte ska vara med? Svar
(Man får svara med ett uttryck av typen C(...,...), det behövs inte att
svara med ett tal.
11. Visa utan att beräkna
а) C(14,11)+C(14,10) = C(15,10)
b) C(N-1,k)+C(N-1,k-1) = C(N,k)
12. а) Det finns 9 kulor som ser likadana ut. Man vet att 3 av dem är radioaktiva. Det finns en testare som kan visa om det finns eller inte finns radioaktiva kulor i vilken som helst grupp av kulorna. Tyvärr, visar testaren inte hur många kulor är radioaktiva.
Visa att det finns inte ett säkert sätt att bestämma alla radioaktiva kulor på
bara 6 prövningar . Svar
b) Det finns 9 mynt som ser likadana ut. Man vet att 3 av dem är
falska och är lättare än de äkta. Man har en balansvåg utan vikter.
Visa att det finns inte ett säkert sätt att bestämma alla falska myntet på
bara 4 vägningar. Svar
13. Hur många 10-siffriga heltal består av tre siffror 5 och sju siffror 6? Svar
14* Ett torn får göra ett drag bara ett steg uppåt eller åt höger.
På hur många sätt kan man flytta tornet från den vänstra nedersta hörnruta
till den högersta uppersta hörnrutan? Betrakta schackbräden av storlek
a) 3x3 Svar
b) 4x4 Svar
c)
8x8 Svar
d) NxN Svar
e) MxN Svar