Математический кружок

Занятие 9. Остатки и суммы

Обсуждение

1. 15 натуральных чисел записаны в ряд. Сумма первых семи оканчивается на 8, сумма последних восьми – на 9. На какую цифру оканчивается сумма всех 15-ти чисел? Ответ

2. 99 натуральных чисел записаны в ряд.
a) Сумма первых 50-ти чисел равна 1001, сумма последних 50-ти равна 2004, а сумма всех равна 2999. Какое число стоит на 50-м месте? Ответ
b) Сумма первых 50-ти чисел оканчивается на 1, сумма последних 50-ти – на 4, а сумма всех – на 9. На какую цифру оканчивается число на 50-м месте? Ответ

3. 100 натуральных чисел записаны в ряд. Известно, что сумма любых трех подряд оканчивается на 3. Ряд начинается с чисел 7 и 4. Определите последние цифры всех остальных чисел ряда. Ответ

4. 100 натуральных чисел записаны в ряд. Известно, что сумма любых одиннадцати подряд делится на 10. Ряд начинается с числа 2004. На какую цифру заканчивается последнее число ряда? Ответ

5. В таблице 7x7 записаны 49 натуральных чисел. Известно, что сумма чисел в каждой строке четна. Может ли сумма чисел в каждом стольце быть нечетной? Ответ

6. В ряд записаны 10 натуральных чисел. Докажите, что можно выбрать группу из одного или несколько чисел подряд так, чтобы сумма делилась
а) на 3? Ответ
b) на 4? Ответ

7. 100 натуральных чисел записаны в ряд. Известно, что при делении на 5 сумма любых 17 подряд дает в остатке 2, а сумма любых 39 подряд дает в остатке 4. Найдите остаток от деления на 5
а) суммы всех чисел Ответ
b) 50-го числа. Ответ

8. В ряд записаны 11 натуральных чисел. Докажите, что можно выбрать
а) две группы из подряд идущих чисел так, чтобы они начинались с первого числа, и чтобы суммы чисел в обеих группах оканчивались на одну и ту же цифру. Ответ
b) группу из одного или несколько чисел подряд так, чтобы сумма оканчивалась на 0. Ответ

Серьезные задачи

9. В ряд записаны N натуральных чисел. Докажите, что можно выбрать группу из одного или несколько чисел подряд так, чтобы сумма делилась на N.

10. Можно ли целые числа от 1 до 2004 расставить в некотором порядке так, чтобы сумма любых 10-ти подряд делилась на 10? Ответ

11. Шах объявил, что проверит всех членов Совета Мудрецов так: выстроит в колонну по алфавиту, и каждому наденет белый или синий колпак. Мудрец будет видеть колпаки только у тех, кто впереди него (задний – у всех, кроме себя, передний – ни у кого). Каждую минуту по удару гонга кто-нибудь один из мудрецов должен выкрикнуть один из цветов. Каждый мудрец имеет одну попытку, а если кто-то выкрикнет что-то постороннее, крикнут одновременно несколько или не крикнет никто, то всех казнят. А так по окончании казнят только тех, кто не угадал цвет своего колпака.
Накануне все мудрецы стали договариваться, как им, не нарушая правил, передать информацию о цвете колпаков друг другу и что какой выкрик в каждой ситуации будет обозначать.
a. В Совете 3 мудреца. Можно ли наверняка спастись двоим? Ответ
b. В Совете 40 мудрецов. Как наверняка спастись не менее 30 из них?
c. В Совете 100 мудрецов. Какое наибольшее число мудрецов сможет наверняка спастись? Ответ