Мы будем рассматривать игры, где двое игроков
(Первый и Второй) ходят по очереди, причем начинает Первый. «Кто выигрывает?»
будет означать: «Кто из игроков может всегда выигрывать независимо от игры
противника?».
1. В некоторой клетке
шахматной доски стоит ладья. За ход разрешено ее двигать на одну клетку вниз
или на любое количество клеток влево. Проигрывает тот, кто не может сделать
ход. Определите, для каких начальных клеток Первый проигрывает, и отметьте эти
клетки знаком «минус». Сколько всего таких клеток?
2. Есть две кучки
конфет, не более чем по 7 конфет в каждой. За один ход разрешается взять одну
конфету из правой кучки или любое число конфет из левой кучки. Проигрывает тот,
кто не может сделать ход. Определите, для каких начальных размеров кучек Первый
проигрывает, и отметьте эти пары знаком «минус». Сколько всего таких пар?
Сравните число проигрышных позиций в задачах 1 и 2.
3. На шахматной доске
слон. Разрешается ходить им вниз по диагонали на одну или две клетки. Кто не
может сделать ход – проигрывает. Определите, для каких клеток Первый
проигрывает, и отметьте эти клетки знаком «минус». Сколько всего таких клеток?
4. Есть две кучки
конфет, не более чем по 7 конфет в каждой. За один ход разрешается взять
поровну конфет из обеих кучек (максимум 2) или переложить 1 или 2 конфеты из
левой кучки в правую. Кто не может сделать ход – проигрывает. Определите, для
каких начальных размеров кучек Первый проигрывает, и отметьте эти пары знаком
«минус». Сколько всего таких пар?
Попробуйте установить соответствие между проигрышными позициями в задачах 3 и 4.
5. Есть две кучки конфет, в каждой может
быть любое число конфет от 0 до 7 (причем не обязательно поровну). За ход
разрешается съесть две конфеты из одной кучки и одну из другой, либо взять две
конфеты из одной кучки и одну из них съесть, а другую положить в другую кучку. Проигрывает
тот, кто не может сделать ход.
a) Определите, для каких
начальных размеров кучек Первый проигрывает, и отметьте эти пары знаком
«минус». Сколько всего таких пар?
b) Придумайте равносильную
игру на шахматной доске.
6. а) На полях a1, b2 стоят белые ладьи (ими
ходит Первый), а на a8, b8 – черные ладьи (ими
ходит Второй). Ладьями можно ходить только по вертикали, причем прыгать через
другие ладьи или есть их нельзя. Каждым ходом можно двинуть любую ладью, но только
одну. Кто не может сделать ход – проигрывает. Покажите, что один из игроков
может выигрывать независимо от игры противника. Кто он, и как ему надо играть?
b) Придумайте игру с конфетами, которая этой
игре равносильна или почти равносильна.
c) Придумайте игру с одной фигурой на
шахматной доске которая этой игре равносильна или почти равносильна.
7. [Магический квадрат] Расставьте в клетчатом квадрате числа 3´3 числа от 1 до 9 так, чтобы в каждом
вертикальном, горизонтальном или диагональном ряду из 3 клеток все суммы были
одинаковы.
8. На столе лежат 9 карточек с числами от 1 до 9. Двое играющих берут по
одной карточке за ход. Выигрывает тот, кто после своего хода сможет предъявить
три карточки с суммой 15.
а)* Может ли кто-то из игроков всегда выигрывать независимо от игры
противника?
b) Какой очень известной игре раносильна данная
игра?
Стокгольм,
26 апреля 2003 г , Кружок при школе Сони Ковалевской http://shap.homedns.org/sks/ryska/