Математический кружок

при школе Сони Ковалевской

(руководитель Александр Шаповалов)

 

Занятие 5. Столько же?

 Обсуждение

1. a) На клетчатую доску 8x8 положили квадратик 3x3 так, что он закрыл 9 клеток, и раскрасили левую нижнюю закрытую клетку. Потом квадратик передвинули и закрасили еще одну клетку, и так двигали и красили пока было можно. Какие клетки покрасили? Сколько их всего?     Ответ
    b) Сколькими способами можно положить квадратик 3x3 на клетчатую доску 8x8 так, чтобы что он закрыл 9 клеток?    Ответ  

2. a) В детский сад привезли кубики: желтые и синие. Каждый взял по 5 кубиков и построил из своих кубиков башню. Какое наибольшее число различно раскрашенных башен могло получиться?     Ответ
    b) На кружок ходит 5 человек. Каждый раз преподаватель составляет список, кто сегодня был на занятии. Какое наибольшее число различных списков могло получиться за весь год?    Ответ 

3. а) Сколько есть различных 4-значных чисел, где цифры 1,2,3,4 встречаются ровно по разу?    Ответ 
    b) Сколькими различными маршрутами можно обойти вершины квадрата ровно по разу, если ходить можно только по сторонам и диагоналям, и в центре квадрата поворачивать нельзя?    Ответ 
    c) Сколькими способами можно расставит на доске 4x4 четырех ладей так, чтобы они не били друг друга?    Ответ 

4. а) В ряд лежат 8 монет. Сколькими способами можно положить две спички между монетами, если нельзя класть спички рядом (между одной парой монет)?    Ответ 
    b) Сколькими различными способами можно разрезать клетчатую полоску 1x8 на три меньшие, если резать можно только по границам клеток? (Разрезание с левой полоской 3 клетки а правой 1 клетка считается не таким, когда левая полоска 1 клетка, а правая – 3 клетки).    Ответ
    c) Сколько решений в натуральных числах есть у уравнения x+y+z=8 ?    Ответ
    d) Сколько решений в целых неотрицательных числах есть у уравнения x+y+z=5 ?    Ответ 

Задачи потруднее

5. Назовем число плохим, если сумма любых двух соседних его цифр – четная. Сколько плохих семизначных чисел оканчиваются на 7?    Ответ

6. Сколькими различными способами можно разрезать клетчатую полоску 1x10 на четыре различные по размерам полоски, если резать можно только по границам клеток?    Ответ

7. а) Проверьте, что C(5,0)+C(5,1)+C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5)=25
    b)* Докажите, что для любого натурального N 
C(N,0)+C(N,1)+C(N,2)+...+C(N,N)=2N

8* Докажите, что диагонали 10-угольника могут пересекаться максимум в С(10,4) точках.